高级模型|时间序列分析以及预测模型

乔帮主

时间序列分析
以及预测模型
经济管理应用

时间序列模型是根据系统观测得到的时间序列数据，通过曲线拟合和参数估计来建立数学模型的理论和方法，是现代计量经济学的重要内容，对统计指标特征、预测指标趋势等工作具有重要意义。在经济管理中，时间序列模型广泛用于预测和分析各类金融指标、市场趋势、销售数据、生产计划等。本文将介绍时间序列分析的基本原理、模型建立步骤，并通过SPPS软件操作和具体案例展示其在经济学数据分析中的应用。

一、模型介绍

时间序列也称动态序列，是指将某种现象的指标数值按照时间顺序排列而成的数值序列。时间序列由两个组成要素构成，分别是时间要素和数值要素，根据两个要素性质的不同，可以分为时期时间序列和时点时间序列，分别描述的是一定时期内和一定时点上数值要素的状态。
基于上述对时间序列的描述，时间序列分析就是利用模型，对时间序列数值变化背后蕴含的数值变换的规律进行科学分析。
时间序列方法分为传统时间序列分析和现代时间序列分析。

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传统时间序列分析
传统时间序列分析将时间序列分为四种因素，分别是长期趋势、季节变动、循环变动、不规则变动，时间序列的变动往往是这四类变化形式的复合叠加。
长期趋势（T）：指统计指标在一段较长时期内受到长期趋势影响因素的影响，表现出持续上升或下降的趋势。例如：新生儿死亡率随医学水平的提高而不断下降。
季节变动%28S%29：指由季节性因素影响而发生的周期性变动。这里的季节是广义的，一般以月、季、周为时间单位，不能以年作单位。例如：雪糕和棉衣的销量都会随着季节气温的变化而周期变化。
循环变动%28C%29：指以年度为周期记录的时间序列所表现出的波浪式的周期性变动，特征表现为增加和减少交替出现，但是并不具严格规则的周期性连续变动。例如：市场经济的商业周期和的整个国家的经济周期。
不规则变动%28U%29：是时间序列除去上述变动的余留项，指由某些随机因素导致的数值变化。这些因素的作用是不可预知和没有规律性的，可以视为由于众多偶然因素对时间序列造成的影响，在回归中又被称为扰动项。

以上四种变动就是时间序列数值变化的分解结果。四种变动不一定会同时出现在同一时间序列中。假定各构成部分影响是可加且相互独立，传统时间序列分析模型Y可以分为以上四种因素的加法模型和乘法模型。
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现代时间序列预测模型
现代时间序列分析将时间序列看做一个随机过程，通过分析时间序列特性研究序列变化一般规律。
时间序列的特性是指序列的平稳性、季节性和随机性。时间序列的统计特性不随时间推移发生变化，称为平稳时间序列；时间序列的统计特性随季节发生变化，则表明序列存在季节性；时间序列变化完全是随机的，序列中各项之间相互独立，称为完全随机序列。
分析时间序列重要工具之一是时间序列自相关，即时间序列两项之间的相关性。通过分析时间序列自相关关系，可以识别时间序列是否具有平稳性、季节性和随机性。对于平稳的时间序列，可以采用自回归移动平均模型进行分析预测。对于非平稳时间序列，可以采用差分方法，使时间序列转化为平稳时间序列，进而使用自回归移动平均模型进行分析预测。此外，对于多变量时间序列，还可以采用向量自回归模型进行分析。
现代时间序列模型引入了更复杂的模型和方法，如机器学习和深度学习模型，包括支持向量机（SVM）、随机森林（RF）、长短期记忆网络（LSTM）等。

时间序列模型在经济管理中的应用
  时间序列模型在经济管理中有着广泛的应用，特别是在预测和分析数据随时间的变化时。这类模型通过挖掘数据中的时间相关性，帮助决策者更好地规划未来的战略，并优化日常运营和管理。
时间序列模型可应用于：宏观经济预测、金融市场分析、销售预测、风险管理、库存和供应链管理等实际经济活动中。

常见模型介绍

1、ARIMA模型
应用场景：ARIMA模型是经济管理中最经典和广泛使用的时间序列模型之一，尤其在宏观经济指标预测中，如GDP、通货膨胀率、失业率、消费指数等。它可以处理非平稳的时间序列，通过差分化使其平稳。
优点：结构简单，适用于平稳和差分平稳的时间序列数据，且预测效果通常比较稳定。
例子：使用ARIMA模型预测未来几年的经济增长率，或预测季度销售额变化。

2、VAR模型
应用场景：VAR模型适用于多元时间序列分析，特别是在经济管理中，多个经济指标（如利率、汇率、物价指数等）往往相互影响和联动，因此VAR模型非常适合用于捕捉这些变量之间的动态关系。
优点：能够同时分析多个变量间的相互依赖关系，常用于宏观经济分析和政策模拟。
例子：使用VAR模型分析货币政策变动对通货膨胀率和就业率的综合影响。

3、GARCH模型
应用场景：GARCH模型在金融市场的波动性预测中被广泛应用，尤其是股票市场、汇率市场等存在波动聚集现象的场景。在风险管理和投资组合优化中，GARCH模型可用于预测市场波动，评估金融资产的风险。
优点：特别擅长处理时间序列中的波动性和异方差性，能够较好地描述金融市场的波动。
例子：使用GARCH模型预测股票市场的波动性，或评估投资组合的风险水平。

4、LSTM模型
应用场景：随着现代机器学习技术的发展，深度学习中的LSTM模型在时间序列预测中的应用逐渐增多，尤其是对于长期依赖和非线性关系较强的数据。LSTM被用于更复杂的金融数据预测，如高频交易数据、复杂市场趋势等。
优点：能够捕捉长时间序列中的非线性关系和长期依赖性，特别适用于较复杂的时间序列数据。
例子：使用LSTM模型预测股票价格走势，或分析长期消费趋势变化。

5、季节性ARIMA（SARIMA）模型
应用场景：SARIMA模型在处理具有季节性特征的经济数据时非常有用，如季度销售数据、月度失业率或节假日消费趋势等。它是在ARIMA模型基础上加入了季节性成分。
优点：能够处理季节性波动的时间序列数据，模型相对简单，效果稳定。
例子：通过SARIMA模型预测每年不同季度的销售额变化，或分析全年旅游市场的季节性波动。

%2A本文仅选择部分模型进行详细介绍。欢迎读者联系工作人员进行投稿补充。




二、模型建立

指数平滑模型
指数平滑模型是一类广泛用于时间序列预测的模型，通过对历史数据赋予不同的权重来预测未来值。与简单平均模型不同，指数平滑模型中的权重随着时间指数式递减，最近的数据点权重最大，远处的数据点权重逐渐减小。











ARIMA模型
ARIMA模型是一种常用的时间序列预测方法，适用于处理单变量的非平稳数据。它结合了自回归%28AR%29、差分%28I%29、移动平均%28MA%29三个部分，用于建模和预测时间序列数据。
ARIMA模型的基本构成：



ARIMA模型的表示法：



ARIMA模型的构建步骤：



ACF和PACF：







扩展：SARIMA（季节性ARIMA）模型




其他时间序列模型
时间序列分析中还有丰富地模型可以针对不同情况的数据进行分析、拟合与预测，鼓励同学们通过网络查询、文献搜索等方式进行学习，本文不再介绍，也欢迎读者联系工作人员进行投稿补充。

专家建模器
专家建模器是 SPSS 中常用的时间序列图的自动建模器，可以自动查找每个相依序列的最佳拟合模型。它的目的是在分析过程中自动识别最适合的数据模型，减少手动调试模型参数的工作量。在已指定自变量的情况下，专家建模器会通过分析历史数据，为 ARIMA 模型中的内容选择与该相依序列具有统计显著干系的模型。并且，它也会自动进行判断，在有需要时对模型变量使用差分和或平方根或自然对数的转换。而在系统默认状况下，专家建模器既考虑指数平滑法模型也考虑 ARIMA 模型，它也能够在指定下自动检测离群值。以下是专家建模器的工作流程：
01
数据预处理
数据检查：会检查数据是否满足时间序列分析的要求，诸如缺失值处理、时间间隔一致性等。
差分处理：如果数据存在趋势或季节性，专家建模器会对序列进行差分以去除非平稳性。
02
自动模型选择
自动扫描多种模型，并根据信息准则（如AIC、BIC）选择最佳模型。
通过对ACF和PACF图的分析，自动确定ARIMA模型中的参数。
如果数据有季节性，专家建模器会根据周期性模式选择合适的季节性模型。
03
参数估计
专家建模器会估计模型的参数（如自回归项、移动平均项的系数）并计算模型的残差，以检查模型的拟合情况。
04
模型评估
根据残差分析，专家建模器会评估模型的拟合优度，确定模型是否足够准确。如果残差没有显著的自相关性，说明模型是合适的。

05
预测
专家建模器生成的模型可以用于未来时间段的预测，并提供预测区间来衡量预测结果的不确定性。

专家建模器是一种便捷的自动化工具，能够帮助用户在处理时间序列数据时快速选择和构建合适的模型，尤其是在用户缺乏时间序列建模经验时非常有用。它通过自动化的方式简化了模型选择和参数估计过程，并能够应用于广泛的实际场景。




三、模型实现

应用现代时间序列分析方法时，主要有三个步骤，分别是：描述时间序列过去的变化特征、发现时间序列运行规律、预测未来时间序列的走势。
首先我们可以通过描述统计方法或图示法预先做一些判断，其次使用统计检验判断时间序列的平稳性，即统计特性（均值和方差等）不随时间的变化而变化。对于平稳序列，可以采用移动自回归模型进行分析；如果是非平稳序列可以采用差分方法，将其转化为平稳序列进行分析。最后，利用该时间序列分析建立的模型进行序列的预测。
接下来我们以国家统计局月度数据中的2020年10月到2024年9月的西红柿（中等）集贸市场价格当期值%28元/公斤%29数据为例，进行时间序列模型的建立。

时间序列图
  又称时序图，是一种展示随时间变化的数据模式和趋势的图形表示方法，通常由时间轴和相应的变量值组成。它可以用来观察数据的周期性、趋势性、季节性等特征。时间序列图的横轴表示时间，纵轴表示与时间相关的变量的取值。
  本文选择SPSS软件进行时序图绘制以及接下来的时间序列分解等步骤。
首先，我们需要在SPSS中进行时间变量的定义，具体步骤为：点击功能栏中的“数据”--选择“定义日期和时间”--选择与要分析的数据与相符合的个案日期（例如本例选择“年，月”）



在创建好时间变量之后，选择“分析”--“时间序列预测”--“序列图”，选择需要进行可视化的数据和时间标签，进行画图。本例数据时序图如下：



在制作好时序图之后，需要结合图表对数据进行分析。例如从本例时序图可以看出，西红柿集贸市场价格在5元/公斤到11元/公斤中规律变动，近四年月份数据显示，价格会在每年的3月到5月左右出现峰值，9月到11月的价格相对较低，有较为明显的季节性，随着时间变化，销量数据的季节波动变化不大，可尝试使用加法分解模型。

季节性分解
点击“分析”--“时间序列预测”--“季节性分解”，选择要进行分解的数据，并根据时序图的表现选择乘性模型或加性模型，并根据周期长度选择移动平均值权重，周期长度为奇数时选择“所有点相等”，周期长度为偶数时选择“端点按0.5加权”。本例时间变量为月份数据，周期长度为12，因此选择加性模型与“端点按0.5加权”，结果如下：



表中数据表示：1月到7月的季节因子为正，8月到12月的季节因子为负，这说明西红柿1月到7月的平均价格要高于8月到12月，且4月的平均价格要高于全年平均水平2.14193元/公斤，9月平均价格要低于全年平均水平1.66071元/公斤。
  此外，软件在进行季节性分解的同时，自动添加了以下四个变量：



加入新的变量画出分解后的时序图：



%2A少于四个周期的数据无法进行季节性分解

创建传统模型
本文将主要介绍利用SPSS专家建模器进行传统模型的创建以及数据预测，更适用于经管类数学基础较浅，但需要利用模型进行分析和预测的学生。
  选择“分析”--“时间序列预测”--“创建传统模型”，在“因变量”中选择需要进行模型建立的数据：



在“模型”栏中选择“所有模型”，并勾选“专家建模器考虑季节性模型”。
在“离群值”中勾选自动检测离群值，并勾选所有离群值类型，SPSS会对发现的异常值使用序列平均值来代替。
在“统计”栏中勾选参数估算值，可将参数代入公式。
在“图”栏中勾选拟合值与ACF、PACF图像，用于判断模型拟合程度。

模型分析
将上述信息设置后，点击SPSS的专家建模器给出以下结果：






专家建模器得出的最优模型类型的简单季节性，其中指数平滑模型参数如图所示。
简单季节性指时间序列数据在固定的时间周期内呈现出规律性波动的现象。这种现象常见于经济、气候、销售等领域，表现为某些时段的数据具有重复的模式或周期性变化。简单季节性可以帮助识别并预测未来的趋势和波动。因此，我们可以通过前文的季节性分解来更好地分析时间序列的规律。
专家建模器还给出了以下参数，用于评价模型效果。
残差的ACF和PACF图形如下：



从中可以看出，所有滞后项的自相关系数和偏自相关系数均和0没有显著的差异。
对残差进行Q检验的结果如下：



从中可以看出，Q检验得到的p值为0.059，大于0.05，即我们无法拒绝原假设H0：残差和0没有显著差异，认为残差就是白噪声序列。
综上，本模型可以很好的识别例子中西红柿的价格数据，拟合图如下：




预测
时间序列分析的最终目的就是通过分析过去数据的特征和规律，对未来数据进行合理地预测。
在创建传统模型时，在“选项”栏填写需要预测到的日期。
预测图与预测数据结果如下：






如图所示，专家建模器给出加下来三个月西红柿的价格分别为9.94，9.81，10.42，与实际价格数据的趋势吻合度较高，并给出了上下波动范围。

以上就是基于国家统计局月度数据中的2020年10月到2024年9月的西红柿（中等）集贸市场价格当期值%28元/公斤%29数据为例，进行的时间序列模型的建立。
欢迎读者对时间序列分析及预测模型进行进一步的模型补充或例子补充投稿。

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