[QiTool 3] 量子态的经典影子层析

空白派

经典影子层析（classical shadow tomography）是近年来发展的一套量子测量方案[1][2][3][4][5]，它力求用较少的测量次数求得尽可能多的观测量均值，从而高效地将量子信息读取为经典信息。
本文简要介绍这一方案。
<hr/>1. 测量和层析

首先回顾一下传统的量子测量和量子态层析。
若想要知道一个量子态 \rho 关于某个观测量 O 的期望值 \langle O\rangle_\rho=\operatorname{tr}(O\rho) ，通常的步骤是

• 重复地制备这个态 M 次；
  
• 在该观测量的本征基底 \{|\lambda\rangle\} 下进行测量；
  
• 对测量结果取平均 \langle O\rangle_\rho=\sum_\lambda \langle\lambda|\rho|\lambda\rangle \lambda\leftarrow\frac{1}{M}\sum_m \lambda_m 。
  

其中 \lambda 和 |\lambda\rangle 表示 O 的本征值和本征态，即 O=\sum_{\lambda}\lambda|\lambda\rangle\langle\lambda| 。 \lambda_m 表示第 m 次测量得到的结果。

注：根据大数定律，测量均值会收敛于严格的期望，标准差以 \frac{1}{\sqrt{M}} 的速率趋于零。

若想知道多个观测量的均值，直接的方法是对每个观测量都依次完成上述步骤。
若想知道所有观测量的均值，直接的方法是对一套完备的观测基底都依次完成上述步骤。这个过程又称为量子态（完全）层析。因为根据完备观测量的期望可以重构密度矩阵，而密度矩阵包含了量子态的所有信息。

注：这里提到的全部信息，除了观测量期望外，还包括密度矩阵的非线性函数，例如纯度/熵、负值度等。

以 N-qubit 系统为例，Hilbert 空间维数记为 d=2^{N} 。所有 Pauli string  \{P\} 构成了矩阵空间的一套完备正交基（Hilbert-Schmidt 内积），共 4^n=d^2 个。密度矩阵可以展开为
\begin{aligned}  \rho&=\sum_{P}\frac{\operatorname{tr}(P\rho)}{\|P\|_2} \frac{P}{\|P\|_2} = \sum_{P}\frac{\operatorname{tr}(P\rho)P}{\operatorname{tr}(P^2)}\\ &=\sum_{P}\frac{\operatorname{tr}(P\rho)P}{\operatorname{tr}I} =\frac{I+\vec{r}\cdot\vec{P}}{d}.  \end{aligned}
其中 \vec{P} 表示所有非平凡（即除恒等算符外）的 Pauli string 组成的矢量， \vec{r}=\{\langle P\rangle_\rho\}_{P\neq I} 代表所有非平凡 Pauli string 在该态上的期望值所组成的一个实矢量。
由于不同表象下的模相等，故有
\begin{aligned} \operatorname{tr}(\rho^2)=\sum_\sigma \left|\frac{\operatorname{tr}(\sigma\rho)}{\|\sigma\|_2}\right|^2 = \frac{1+\vec{r}^2}{d}, \end{aligned}

注：等式左边可以理解为以 01 矩阵元 [A(i,j)]_{i&#39;j&#39;}=\delta_{ii&#39;}\delta_{jj&#39;} 为基底做展开时的矢量模方。

进而矢量 \vec{r} 满足不等式
\vec{r}^2=\operatorname{tr}(\rho^2)d-1\leq d-1.
因此，维数为 d 的量子态可以与一个半径为 \sqrt{d-1} 的 d^2-1 维球体（即 Bloch 球）中的点一一对应
\begin{aligned} \rho\rightarrow \vec{r}=\{\langle P\rangle_\rho\}_{P\neq I}\rightarrow\rho=\frac{I+\vec{r}\cdot\vec{P}}{d}. \end{aligned}

注：特别地，球表面对应的态满足 \operatorname{tr}(\rho^2)=1 ，表示所有纯态。

通过测量所有 Pauli string 得到 \vec{r} ，就得到了 \rho 的密度矩阵。
比如对于单个 qubit，有
\vec{r}=\{\langle X\rangle_\rho, \langle Y\rangle_\rho, \langle Z\rangle_\rho\}.
\begin{aligned} \rho=\frac{I+\langle X\rangle_\rho X+\langle Y\rangle_\rho Y+\langle Z\rangle_\rho Z}{2}. \end{aligned}
也就是说，单比特量子态层析只要测量 3 个 Pauli 算符 X,Y,Z 的均值。
然而对于 N 个 qubits 的情况，量子态层析需要测量所有 4^N-1 个 Pauli string 的均值，测量成本随比特数目指数增长。

注：事实上有一些 Pauli string 是对易的，例如 Z\otimes I 和 I\otimes X ，它们可以共享一个测量基底。因此，测量成本应当正比于不同的测量基底的个数，即 \#\{|x\pm\rangle,|y\pm\rangle,|z\pm\rangle\}^{\otimes N}=3^N 。

量子态层析的好处在于，当我们并不知道要测哪些量时，先测量一套完备的基底并保存结果，以后无论需要哪个量的观测期望，都可以通过重构的密度矩阵去预测。（“先测量，再提问。”）
然而我们看到，量子态层析的复杂度随系统大小指数增长，不可规模化。

注：不仅时间复杂度指数增长，为了记录下所有 Pauli string 均值所需的空间复杂度也是指数增长的。

于是一个自然的问题是，如果我们对于以后要测的量只有一些初步的认识，例如所关心观测量是局域的、少体的、低秩的等，那么是否可以改进完全层析的方案，使其可规模化呢？
答案是肯定的，经典影子层析给出了一套解决方案。
<hr/>2. 经典影子层析

2.1 启发式推导

经典影子层析的出发点是对完全层析的求和式进行抽样近似。这一点类似蒙卡，引入随机性，用抽样求平均代替完全求和。
但它又比单纯的经典抽样要更一般一些。概括地说，经典影子层析分为两步：
随机测量（randomized measurement） + 经典后处理（classical post-processing）。



Schematic for classical shadow tomography from Ref[4].

下面我们做一个启发式的推导，来引出算法的框架。
首先，为了重构出 \rho ，必须在许多不同的测量基底上进行测量，即作用一些幺正变换把 computational basis 旋转到不同的基底上。
我们把这些幺正变换所组成的系综记为 \mathbb{U} 。

注：之所以称为系综而不是单纯的集合，是因为我们隐含地在其上定义了一个概率分布 \operatorname{Pr}_\mathbb{U}[U]，一般选为均匀分布（Haar measure）。

对于每个制备好的目标测量态 \rho ，采样一个 U\in\mathbb{U} 并以量子线路的方式作用到 \rho 上，得到输出态 U\rho U^\dagger 。
然后对输出态在 computational basis 上进行测量，得到结果记为 b 。
等价地，相当于在旋转后的基底上测得了结果 \hat{\sigma}=U^\dagger|b\rangle\langle b|U 。

注：
1. 此处一个测量结果 \hat{\sigma} 称作一个 classical snapshot。
2. 作为测量结果，此处 b 的分布是依赖于 \mathbb{U} 和 \rho 的，从而 \hat{\sigma} 的分布也是依赖于 \mathbb{U} 和 \rho 的。

现在我们来考察随机测量 \rho 得到结果 \hat{\sigma} 的概率 \operatorname{Pr}_{\mathbb{U},\rho}[\hat{\sigma}] 是多少。
得到 \hat{\sigma} 需要两个条件：

• 随机选中了 U ，转到了要测得 \hat{\sigma} 所必需的测量基底上，此事件发生概率（密度）为 \operatorname{Pr}_\mathbb{U}[U] ；
  
• 在该基底上进行测量时， \rho 坍缩到了 \hat{\sigma} 上，此事件发生概率为 \operatorname{tr}(\hat{\sigma}\rho) （Born&#39;s rule）。
  

两个事件相互独立，因此随机测量 \rho 得到结果 \hat{\sigma} 的概率是两者的乘积，即
\boxed{ \operatorname{Pr}_{\mathbb{U},\rho}[\hat{\sigma}]=\operatorname{Pr}_\mathbb{U}[U]\operatorname{tr}(\hat{\sigma}\rho).}\\特别地，随机测量最大混态得到结果 \hat{\sigma} 的概率为
\begin{aligned} \operatorname{Pr}_{\mathbb{U},I/d}[\hat{\sigma}]=\operatorname{Pr}_\mathbb{U}[U]\operatorname{tr}(\hat{\sigma}\frac{I}{d})=\frac{\operatorname{Pr}_\mathbb{U}[U]}{d} . \end{aligned}

注：
1. 此时无论 U 取何值，最大混态经过幺正变换后仍是最大混态，故测量得出的 b 的分布始终是均匀分布，不再依赖于 U。这正是上式中 1/d 因子的由来。
2. 在不知道 \rho 的任何信息时，根据贝叶斯的精神应假定它处于最大混态。因此 \operatorname{Pr}_{\mathbb{U},I/d}[\hat{\sigma}] 可以看作一个先验分布， \operatorname{Pr}_{\mathbb{U},\rho}[\hat{\sigma}] 可以看作后验分布。

于是随机测量 \rho 得到结果 \sigma 的概率可以重写为
\operatorname{Pr}_{\mathbb{U},\rho}[\hat{\sigma}]=d\operatorname{Pr}_{\mathbb{U},I/d}[U]\operatorname{tr}(\hat{\sigma}\rho).
可以发现 snapshot 的期望可以写成
\begin{aligned} \sigma=\mathbb{E}_{\mathbb{U},\rho} [\hat{\sigma}] = d~\mathbb{E}_{\mathbb{U},I/d}[\hat{\sigma} \operatorname{tr}(\hat{\sigma}\rho)]. \end{aligned}
上式可以看作一个从密度矩阵到密度矩阵的线性映射，即一个量子信道
\sigma=\mathcal{M}(\rho),
其中
\mathcal{M}(\cdot)=d~\mathbb{E}_{\mathbb{U},I/d}[\hat{\sigma} \operatorname{tr}(\hat{\sigma}\cdot)],
称为这种随机测量方案的测量信道（measurement channel）。
用张量网络图示可以表示为



Tensor network diagram for the measurement channel.

注：此处密度矩阵上下指标分别结合左右矢。信道图示采用了 Liouville 超算符。

若该测量信道可逆，则有
\rho=\mathcal{M}^{-1}(\sigma).
至此，我们重构出了密度矩阵。 \mathcal{M}^{-1} 称为重构映射（reconstruction map）。

注：测量信道可逆的一个充分条件是， \mathbb{U} 生成的测量基底族是层析完备的（tomographically complete）[2]。

如果我们要通过 \sigma 拿到 \rho ，需要知道 \mathcal{M}^{-1} 的显式表达式，或者可以通过一套经典算法来求得 \mathcal{M}^{-1}。
这对于常用的系综是可以做到的。例如对于均匀分布，可以通过 Schur 引理 / Weingarten 矩阵求出
\begin{aligned} \mathcal{M}_{\text{Haar}}(\rho)=\frac{\operatorname{tr}(\rho)I+\rho}{d+1}. \end{aligned}

注：由于以上推导只涉及到概率分布的二阶矩，故只要 \mathbb{U} 是一个 unitary 2-design，上式就成立。

这可以看作 depolarizing 信道的一个特例，其逆映射为
\mathcal{M}^{-1}_{\text{Haar}}(\sigma)=(d+1)\sigma-\operatorname{tr}(\sigma)I.

注：量子信道的逆映射不一定是合法的量子信道，可能不再满足完全正定性。例如此处若 \sigma 为一个纯态，逆映射的结果会因为减去了一个 identity 而变得不再正定。当然，反过来说，若 \sigma 本身就是某个量子态 depolarizing 后的结果，则 \sigma 也不可能是个纯态（但组成 \sigma 的一个 snapshot \hat{\sigma} 可以是）。

2.2 一般框架

在上一节我们看到，通过随机测量、对结果取平均、再作用重构信道，确实可以得到 \rho 。
但我们并不需要真的重构出矩阵 \rho ，因为这需要消耗指数多的储存空间。我们只需要求出一些观测量的期望。
因此，我们首先将重构映射和求期望交换，得到
\rho=\mathcal{M}^{-1}(\sigma)=\mathbb{E}_{\mathbb{U},\rho} [\mathcal{M}^{-1}(\hat{\sigma})]=\mathbb{E}_{\mathbb{U},\rho} [\hat{\rho}].
其中 \hat{\rho}=\mathcal{M}^{-1}(\hat{\sigma}) 称为 \rho 的 classical shadow。由上式可知，作为一个随机变量， \hat{\rho} 是 \rho 的一个无偏估计（unbiased estimator）。

注：
1. 从上一小节可知， \hat{\rho} 不一定是一个合法的密度矩阵。
2. 为了在经典计算机上高效地计算 \hat{\sigma} ，量子线路 U 一般限制为 Clifford 线路，从而在多项式时间内模拟。

观测量期望可以表示为
\langle O\rangle_\rho=\operatorname{tr}(O\rho)=\mathbb{E}_{\mathbb{U},\rho}[\operatorname{tr}(O\hat{\rho})]=\mathbb{E}_{\mathbb{U},\rho}[\operatorname{tr}(O\mathcal{M}^{-1}(\hat{\sigma}))].
另外，层析完备性保证了 \mathcal{M}^{-1} 作为线性变换是厄米的，因此
\langle O\rangle_\rho=\mathbb{E}_{\mathbb{U},\rho}[\operatorname{tr}(\mathcal{M}^{-1}(O)\hat{\sigma})].
算法实现中作用于 O 还是 \hat{\sigma} 可以根据方便自行选择。
至此，我们完成了经典影子层析的全部推导。算法框架可以总结为

• 选定一个幺正变换的系综 \mathbb{U} ，计算出 \mathbb{U} 所对应的重构映射 \mathcal{M}^{-1} ；
  
• 根据 \mathbb{U} 随机选择一个幺正变换 U ，以量子线路的形式作用到 \rho 上；
  
• 对作用后的态进行测量，得到结果 b ，记此组数据 (U,b) ，返回上一步，直至收集到足够的数据；
  
• 每组数据 (U,b) 可以生成一个 \hat{\sigma} ，通过重构映射 \mathcal{M}^{-1} 得到 \hat{\rho} ，进而得到观测量的一个样本 \operatorname{tr}(O\hat{\rho}) ，对该样本取平均就得到了观测量均值 \langle O\rangle_\rho 。
  

值得注意的是，中间两步在量子设备上完成，首尾两步在经典计算机上完成。

注：除了像 Pauli string 这样的常见观测量，该算法还可以用来计算保真度、纯度/熵、投影等。因为密度矩阵得到重构后，原本在量子设备上的操作可以等效地转化为经典操作，例如计算纯度 \operatorname{tr}(\rho^2)=\mathbb{E}_{\mathbb{U},\rho}[\operatorname{tr}(\hat{\rho}\hat{\rho}&#39;)] 。

上述通过采样求均值的方案有效的前提是，样本的方差不能太大，至少不能随系统规模指数增长。否则根据大数定律，我们就需要指数多的样本来压制误差才能获得可靠的结果。
2.3 方差分析

随机测量中单个样本的方差可以放缩为
\begin{aligned} \operatorname{Var}_{\mathbb{U},\rho}[\operatorname{tr}(O\hat{\rho})]\leq\mathbb{E}_{\mathbb{U},\rho}[\operatorname{tr}(O\hat{\rho})^2]\leq\max_{\rho}\mathbb{E}_{\mathbb{U},\rho}[\operatorname{tr}(O\hat{\rho})^2]. \end{aligned}
其中 \max_\rho 表示遍历所有合法的密度矩阵取最大值。因此，这个上界是一个和所测量子态无关的量，只依赖于 O 和 \mathbb{U} ，（开根号后）称为 shadow norm，记作
\begin{aligned} \|O\|^2_{\text{shd}} = \max_{\rho}\mathbb{E}_{\mathbb{U},\rho}[\operatorname{tr}(O\hat{\rho})^2]. \end{aligned}
但这个取最大值一般难以计算，有时我们可以用最大混态代替（相当于取平均）[3]，来近似表征上界的大小（也可以称为 shadow norm），记作
\begin{aligned} \|O\|^2_{\text{shd}} = \mathbb{E}_{\mathbb{U},I/d}[\operatorname{tr}(O\hat{\rho})^2] = \frac{\operatorname{tr}(O\mathcal{M}^{-1}(O))}{d}. \end{aligned}
这个量的计算非常简单，代入观测量和重构信道即可。
利用 shadow norm，可以证明，若用同一组数据同时求多个可观测量期望，经典影子层析的样本复杂度可以降低到[2]
\begin{aligned} \mathcal{O}\left(\frac{\log(K/\delta)}{\epsilon^2}\max_k\|O_k\|^2_{\text{shd}}\right), \end{aligned}
其中 K 表示需测的可观测量总数， O_k 表示第 k 个可观测量， \epsilon 表示容许误差， 1-\delta 表示成功概率。这个 sample scaling 达到了量子信息的理论下界[2]。
2.4 常用例子

最常用的随机测量方案是 Pauli 随机测量，对应的系综 \mathbb{U} 由每个 qubit 上独立的随机 Clifford 线路构成，对应的重构信道为
\begin{aligned} \mathcal{M}^{-1}_{\text{Pauli}}(\sigma)=\bigotimes_{n=1}^N  (3\sigma_n-\operatorname{tr}(\sigma_n)I). \end{aligned}
其中 \sigma_n 对应 \sigma 在第 n 个 qubit 上的缩并指标，图示如下



Tensor product structure of the reconstruction map for the Pauli randomized measurement.

注：此处图示含义可以参考：开放系统演化的张量网络图示。

Pauli 随机测量对于 Pauli string 的 shadow norm 为
\begin{aligned} \|P\|^2_{\text{shd}} = \frac{\operatorname{tr}(P\mathcal{M}^{-1}(P))}{d} = 3^l. \end{aligned}
此处 l 表示 P 的作用区域（support）。它不依赖于系统大小 N 。这意味着，Pauli 随机测量可以很好地给出少体观测量的期望值，例如局域序参量、两点关联函数等，因此也适合用来估计局域相互作用的哈密顿量的期望。
另一个常见的方案是 Clifford 随机测量，对应的系综是系统的整个 Clifford 群（3-design），对应的重构信道就是上节中 Haar 的重构信道。它对于一般观测量的 shadow norm 为
\begin{aligned} \|O\|^2_{\text{shd}} = \frac{\operatorname{tr}(O\mathcal{M}^{-1}(O))}{d} = \left(1+2^{-N}\right)\operatorname{tr}(O^2)-2^{-N}(\operatorname{tr}O)^2. \end{aligned}
它依赖于可观测量的 Schatten 2-norm，这意味着 Clifford 随机测量适用于估计保真度、纯度等全局但模较小的可观测量。
此外，介于两者之间的，可以使用有限深度的 Clifford 线路来做随机测量[4]，相应的重构信道需要一些额外的经典计算。
<hr/>参考

• ^Scott Aaronson. Shadow Tomography of Quantum States.  https://arxiv.org/abs/1711.01053
  
• ^abcdHsin-Yuan Huang, Richard Kueng, John Preskill. Predicting Many Properties of a Quantum System from Very Few Measurements.  https://arxiv.org/abs/2002.08953
  
• ^abHong-Ye Hu, Soonwon Choi, Yi-Zhuang You. Classical Shadow Tomography with Locally Scrambled Quantum Dynamics. https://arxiv.org/abs/2107.04817
  
• ^abAhmed A. Akhtar, Hong-Ye Hu, Yi-Zhuang You. Scalable and Flexible Classical Shadow Tomography with Tensor Networks.  https://arxiv.org/abs/2209.02093
  
• ^This is a note regarding Yi-Zhuang You&#x27;s lecture at Institute for Advanced Study, Tsinghua University.
  

原文地址：https://zhuanlan.zhihu.com/p/638536355