为什么弹性力学的基本方程是十五个？

检验之星

学过弹性力学的人都知道：空间弹性理论15个方程，3个平衡方程，6个物理方程（胡克定律），6个几何方程，15个方程15个未知量，十五个未知量分别为6个应力，6个应变，3个位移。然而这里的位移都是线位移，为何不考虑角位移而出现有3个带有转动惯量的平衡方程？是因为单元体太小看成是质点（node）的缘故吗？

原文地址：https://www.zhihu.com/question/297174028

卡卡

是因为有假设：应力在微小单元体的某个面上是均一的。
拓展一点思考，如果应力在微小单元体的某个面上不是均一，而是线性的。那么这个面上的应力可以分解为一个均一的应力加上一个均值为零而反对称的应力。后者可以简化为所谓的微面力偶。
没啥意思。

卡卡

角位移，或者说转动，和应变是两个概念。角位移在时间上的二阶导数就是转动的加速度，直接和外力用牛顿第二定律联系起来了，并不需要用别的定律比如胡克定律。所以最终的Navier-Stoke Equation是包含了角位移的。当然需要注意的是，这里角位移是在小应变情况下的近似。

同花顺

这个问题很好

这是因为你学的是线弹性的(不考虑应变梯度)，空间均匀的各向同性材料(不考虑夹杂，各项异性等)的弹性力学。

你可以回想一下，为什么一点的应力张量有九个分量，而物理方程只有六个。

因为剪应力互等

那剪应力为什么互等呢，因为微元体力矩是平衡的，所以没有转动，所以就不会出现转动惯量，其实你要的转动平衡方程就是剪应力互等定理。

那考虑“转动”情况的呢，当然是有的，其实还用不上楼上说的偶应力理论这么麻烦的高阶弹性理论。简单的例子就是固体中的剪切带和流体中的边界层，他们的典型特点就是一个方向的变形梯度远大于另一个方向的变形梯度，这时剪应变率的变化率不为零。系统的控制方程中，你所说的“转动”情况是占主导地位的。

一点看法，欢迎讨论。

检验医师

因为你学的是线性弹性力学，力矩平衡会得到tau ij = tao ji，非线性弹性力学的PK1应力就不是对称的了，建议看一下非线性弹性力学或者连续介质力学

卡卡

考虑转动的理论当然有
且适合于“宏微观”，属于广义连续介质理论
我直接说一个结论吧
“考虑转动引起的偶应力理论属于尺度理论，尺度理论会随着从微观到宏观的过渡逐渐消失”，下图是伯努利梁考虑偶应力的模型。


modified couple stress theory，具体形式：


1.位移对应“转角”
2.应变对应“曲率张量”
3.应力对应“偶应力张量”
再推荐你一篇IJSS的文章，简单易懂
是基于基尔霍夫板的偶应力理论
Tsiatas, G. C. (2009). "A new Kirchhoff plate model based on a modified couple stress theory." International Journal of Solids and Structures 46(13): 2757-2764.
关于这个理论的发展，我有小的总结：


不过不得不说，用的最多的并不是Mindlin的理论，而是Yang的修正理论（2002）。
附上一个我自己推导过的铁摩辛柯梁的偶应力模型：


有问题再继续讨论吧。