学习量子层析（quantum tomography）需要哪些前置科技？

空白派 · 发表于 2024-12-21 15:26

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只学过普通量子力学，拿到量子层析这个课题之后根本无从下手，文献也完全看不懂。请问有没有什么比较好的入门教材或综述类文章？
原文地址：https://www.zhihu.com/question/48493790

长长的路 · 发表于 2024-12-21 15:27

量子层析仿真实验：Kwiat Quantum Information Group: Tomography Interface (illinois.edu)

大力水手 · 发表于 2024-12-21 15:27

今天正好写了这一块的笔记。可以分享下。
<hr/>准备

所谓Tomography，即就要通过类似X摄影的技术来实现对一个未知的量子态或者量子操作的所有信息的掌握。这一过程又分为State Tomography以及Process Tomography。Tomography的核心思想是，通过制备大量完全相同的初态，每次取一部分在不同的基上进行测量，通过测量结果重新构建密度矩阵 $\rho$ 。

Definition[密度矩阵]
密度算符（density operator）与其对应的密度矩阵（density matrix）专门描述混合态量子系统的物理性质。纯态是一种可以直接用态矢量 $\displaystyle |\psi \rangle$ 来描述的量子态，混合态则是由几种纯态依照统计概率组成的量子态。假设一个量子系统处于纯态 $|\psi_i\rangle$ 的概率分别为 $p_i$ 则这混合态量子系统的密度算符 $\displaystyle \rho$ 为
$\rho=\sum_i p_i |\psi_i\rangle\langle \psi_i|$

密度矩阵有以下性质：

密度算符是自伴算符: $\rho =\rho ^{{\dagger }}$
密度算符的迹数为 $1$
实验测量可观察量 $A$ 获得的期望值为 $\langle A\rangle ={\hbox{tr}}(A\rho )$
密度算符是非负算符： $0\leq \langle \phi |\rho |\phi \rangle \leq 1$
若密度算符平方的迹 ${\hbox{tr}}(\rho^2 )=1$ ，则系统为一纯态；若密度算符平方的迹 ${\hbox{tr}}(\rho^2 )<1$ ，则系统为一混合态。

对于一个二维Hilbert空间，规定Pauli操作 $X,Y,Z$ 与单位矩阵 $I$ ，其中
$\vec{\sigma}=(\sigma_x,\sigma_y,\sigma_z)=(X,Y,Z)$
则这个Hilbert空间一个普遍的量子态 $\rho$ 可以写成
$\rho=\dfrac{I+\vec{r}\cdot \vec{\sigma}}{2}$
其中 $\vec{r}=(r_x,r_y,r_z)$ 并且 $r_x^2+r_y^2+r_z^2 \leq1$ ，事实上这就是单量子Tomography的基础。
<hr/>Single Qubit Tomography

普遍的，一个二能级的量子系统使用Bloch球（光学领域称为Poincare球）进行描述。对于一个二能级叠加态的qubit，其普遍形式为
$|\psi\rangle=\cos(\frac{\theta}{2})|H\rangle+\sin(\frac{\theta}{2}) e^{i\phi}|V\rangle$
所有的量子态遍历整个Bloch球面。对于光学系统，这些量子态分别对应了光子的偏振态，一般而言，我们引入一组光学常用基来描述这些光。
我们引入如下的光学常用基， $|H\rangle$ （Horizontal，水平偏振光）， $|V\rangle$ （Vertical，垂直偏振光）， $|D\rangle$ （Diagonal，左斜偏振光）， $|A\rangle$ （Anti-diagonal，右斜偏振光）， $|R\rangle$ （Right-circular，右旋偏振光）， $|L\rangle$ （Left-circular，左旋偏振光）。
$\begin{aligned} &|H\rangle \equiv |0\rangle, \ |V\rangle \equiv |1\rangle \\ &|D\rangle \equiv \frac{1}{\sqrt{2}}(|0\rangle+ |1\rangle) \\ &|A\rangle \equiv \frac{1}{\sqrt{2}}(|0\rangle -|1\rangle) \\ &|R\rangle \equiv \frac{1}{\sqrt{2}}(|0\rangle+i |1\rangle) \\ &|L\rangle \equiv \frac{1}{\sqrt{2}}(|0\rangle-i |1\rangle) \\ \end{aligned}$

Bloch球与Stokes参数

一个很自然的想法，就是测量偏振态在各个基上的投影以确定这个偏振态。

Definition[Stokes参数]
Stokes参数是偏振态投影在各个基上的测量，我们定义一组Stokes参数
$\begin{aligned} &S_0=|E_H|^2+|E_V|^2\\ &S_1=|E_D|^2-|E_A|^2\\ &S_2=|E_R|^2-|E_L|^2\\ &S_3=|E_H|^2-|E_V|^2 \end{aligned}$
其中 $E_i(i=H,V,D,A,R,L)$ 是各类偏振光的振幅，实际上 $|E_i|^2$ 代表偏振光的光强，由由于光强实际上代表光子数，那么实际上我们可以将组参数写为
$\begin{aligned} &S_0=P_{|H\rangle}+P_{|V\rangle}\\ &S_1=P_{|D\rangle}-P_{|A\rangle}\\ &S_2=P_{|R\rangle}-P_{|L\rangle}\\ &S_3=P_{|H\rangle}-P_{|V\rangle} \end{aligned}$

物理上，它们对应了密度矩阵中3个Pauli矩阵前的系数（由基底易知），故Stokes系数的另外一种表示为
$S_i \equiv tr(\hat{\sigma}_i \rho)$
从而我们将一个对应未知的密度矩阵写作
$\rho=\dfrac{1}{2}\sum_{i=0}^3 S_i \hat{\sigma}_i.$
修正密度矩阵，密度矩阵的性质要求 $\det (\rho)\geq 0$ ，这意味着
$S_1^2+S_2^2+S_3^2\leq 1$
然而由于种种误差之类的原因，我们要做极大似然估计，通常使用 $T$ 矩阵
$T=\begin{pmatrix} t_1&0\\t_3+it_4 &t_2\end{pmatrix}$
$\rho=\dfrac{T^\dagger T}{tr(T^\dagger T)}$
<hr/>Multi-Qubit Tomography

对于多qubit的Tomography，类似于单qubit的Tomography，我们在多个qubit的直积空间进行Tomography，从而构造密度矩阵
$\rho=\dfrac{1}{2^N}\sum^3_{i_1,i_2,\dots,i_N=0}S_{i_1,i_2,\dots,i_N}\sigma_{i_1}\otimes \sigma_{i_2}\dots\otimes \sigma_{i_N}$
我们一般使用图形化来表示各组基上的值

一个典型的2-qubit Tomography结果

<hr/>物理实现

为了实现Tomography，我们就需要完成在任意基底上的测量，而这也只需要一个HWP，一个QWP和一个PBS，实验装置如图
其中
HWP为二分之一波片，其Jones矩阵为
$O_{HWP}(\theta)=\begin{pmatrix}-\cos 2\theta&-\sin 2\theta\\-\sin 2\theta&\cos 2\theta\end{pmatrix}$
四分之一波片的作用用Jones矩阵表现为
$O_{QWP}(\theta)=\begin{pmatrix}1-(1+i)\cos^2\theta&-(1+i)\sin\theta\cos\theta\\-(1+i)\sin\theta\cos\theta&1-(1+i)\sin^2\theta\end{pmatrix}$

单qubit Tomography

易知，测量 $X$ 基时，HWP取 $\theta=22.5^\circ$ ，QWP取 $\phi=0^\circ$ ,对应Hadamard门。
测量 $Y$ 基，HWP取 $\theta=0$ ，QWP取 $\phi=45^\circ$ ，对应 $S^\dagger$ 和Hadamard门联合操作。
测量 $Z$ 基，HWP取 $\theta=0$ ，QWP取 $\phi=0$ ，对应不加操作。
<hr/>IBM Q模拟

利用 $H$ 和 $Z$ 将 $|0\rangle$ 初始到
$|\psi\rangle=\dfrac{1}{\sqrt{2}}(|0\rangle-|1\rangle)$
其密度矩阵对应 $\rho=\dfrac{1}{2}\begin{pmatrix}1&-1\\-1&1\end{pmatrix}$

初始化

对 $X$ 进行Tomography

X基

结果

$S_1=P_{|D\rangle}-P_{|A\rangle}=-1$

Y基

$S_2=P_{|R\rangle}-P_{|L\rangle}=0.08 \approx 0$

Z基

$S_3=P_{|H\rangle}-P_{|V\rangle}=-0.02\approx 0$
故重构密度矩阵为
$\rho=\dfrac{1}{2}\begin{pmatrix} 1+S_3&S_1-iS_2\\S_1+iS_2&1-S_3\end{pmatrix}= \dfrac{1}{2}\begin{pmatrix} 1&-1\\-1&1\end{pmatrix}$
与原来的密度矩阵对比，几乎无差异。
<hr/>接着处理数据。

清风寡欲 · 发表于 2024-12-21 15:27

如之前答主所说的, Kwiat组的主页上有一些关于quantum state tomography的综述.

http://research.physics.illinois.edu/QI/Photonics/tomography/

类似于这样的tomography实验上很好做, 所有的Pauli算符组合挨个测就行了, 然而测量时间关于qubit数指数增长, 曾经一个三光子态tomography做了一晚上...之后要做的是对测出的密度矩阵做极大似然估计, 当时这个事情是交给刚进组的一个本科生完成的.
除此之外, 对于光学体系还有一种tomography, 是对光子态做的, 说白了就是把光子态在相空间中的准分布函数(Wigner function)重构出来, 这种tomography用的是homodyne测量, 可以参考这本书:

U. Leonhardt “Measuring the quantum state of light”

这本书从光场量子化出发, 对于量子光学中的W-, P-, Q- representation都有非常通俗的描述, 并且非常详细的讲了beam splitter在光路中起到的作用(薛定谔海森堡绘景, 对wigner函数的变换); homodyne测量, 如何利用homodyne测量结果去重构wigner函数.

检验医师 · 发表于 2024-12-21 15:28

量子层析是量子信息领域非常常用的一种基础技术，是一种完整测量系统的量子态的方法。简单的说，就是对于一个未知的量子态，我们做实验从不同的测量基去测量它，然后由这些测量结果反推出量子态的密度矩阵。
要了解这个技术，首先你量子力学得基本过关，密度矩阵和投影测量的那一堆内容得熟悉，然后可以去看看Wiki找找概念，再然后可以看看Isaac Chuang和Nielsen的那本 Quantum Computation and Quantum Inforrmation基本上算是量子信息从入门到精通的宝典～
不过如果你是想知道具体某个物理系统咋做层析，那就得搜论文了～

大力水手 · 发表于 2024-12-21 15:28

学好数学学好数学学好数学
你甚至都可以不懂量子力学入门文献去看paul kwiat那篇pra
学习方法:
首先我默认你不是指 quantum process tomography而是指quantum state tomography
先从单个量子比特开始吧一定要理解里面的物理意义然后扩展到多个量子比特和多个qudit 也可以结合量子态估计和纠缠目击一起学习对比学习会更容易掌握

图文播报

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