大学概率论基础之假设检验：探索统计推断的关键步骤与广泛应用

营养师

在大学概率论的学习中，假设检验是一个极其重要的概念与方法，它犹如一把钥匙，为我们开启了探索数据背后真相的大门。从科学研究到经济决策，从医学实验到质量控制，假设检验都发挥着至关重要的作用。
          一、假设检验的基本概念      
    假设检验，又称为统计假设检验和显著性检验。其基本思想是先对总体的概率分布或分布参数做出某种假设，然后根据样本观测值，运用数理统计方法，检验这种假设是否正确，从而拒绝或接受原假设。通俗来讲，假设检验就是利用样本信息来判断总体的情况，就像是通过一个局部的现象去推测整体的状态。例如，在古代，人们通过观察星空的一部分来推测整个星空的运行规律，这在某种程度上也蕴含着假设检验的思想。
          二、假设检验的步骤      
    1. 建立假设      
    首先要提出原假设（H0）和备择假设（H1）。原假设通常是我们想要证明或保护的假设，而备择假设则是在原假设不成立时的另一种情况。就像在法庭上，被告在被证明有罪之前是无罪的，这里的“无罪”就相当于原假设，而“有罪”就是备择假设。
          2. 确定适当的检验统计量      
    根据所研究的问题和已知信息，选择合适的统计量。这个统计量要能够反映样本与总体之间的差异，并且其分布是已知的或者可以通过一定的方法近似得到。
          3. 规定显著性水平      
    显著性水平是一个预先设定的概率值，通常用α表示，一般取 0.05 或 0.01。它表示在原假设为真的情况下，拒绝原假设的概率。例如，如果我们设定显著性水平为 0.05，那么当样本数据给出的结果在 5%的概率下是不太可能发生的（如果原假设为真），我们就拒绝原假设。
          4. 求出检验的拒绝域      
    根据显著性水平和检验统计量的分布，确定拒绝原假设的区域。如果检验统计量的值落在拒绝域内，就拒绝原假设；否则，就接受原假设。
5. 计算统计量观察值：根据样本数据计算出检验统计量的具体值。
6. 作出统计判断：将计算得到的统计量观察值与拒绝域进行比较，从而作出是否拒绝原假设的判断。
          三、假设检验的分类      
    1. 参数假设检验与非参数假设检验：      
   

• 参数假设检验是指在总体分布形式已知的情况下，通过样本统计量去推断或估计总体参数的方法。例如，已知总体服从正态分布，检验某个未知的均值参数是否等于某个特定值，这就是参数假设检验。就像已知一种产品的质量分布是正态的，我们要检验这批产品的平均质量是否达到标准。
  
• 非参数假设检验是对总体分布不明确，或总体信息知道甚少的情况下，利用样本数据对总体分布形态等进行推断的方法。比如，检验一组数据是否服从某种特定的分布，或者比较两个样本是否来自同一个总体，这些都属于非参数假设检验。
  

2. 双侧检验和单侧检验：      
   

• 双侧检验是将拒绝区域排在检验统计量分布的两端。当我们只关心总体参数是否发生了变化，而不关心变化的方向时，就采用双侧检验。例如，检验一种药品的疗效是否与原来不同，这里的“不同”既可能是疗效变好，也可能是疗效变差，所以使用双侧检验。
  
• 单侧检验是将拒绝区域排在检验统计量分布的一侧。当我们不仅关心总体参数是否发生了变化，还关心变化的方向时，就采用单侧检验。又分为单侧左尾检验和单侧右尾检验，比如检验一种新的生产工艺是否能提高产品的产量，这就是单侧右尾检验，因为我们只关心产量是否增加。
  

四、假设检验的应用领域      
    1. 医学领域      
    在医学研究中，假设检验被广泛用于药物疗效的评估、疾病发病率的研究等。例如，在测试一种新药物的疗效时，研究人员会提出原假设“该药物与安慰剂的疗效没有差异”，然后通过临床试验收集数据，进行假设检验，以确定该药物是否真的有效。如果假设检验的结果拒绝了原假设，就说明该药物的疗效显著优于安慰剂。
          2. 经济领域      
    在经济学中，假设检验可以用于分析市场趋势、检验经济理论等。比如，检验某一地区的消费水平是否与收入水平相关，或者检验一种投资策略是否能够获得高于市场平均水平的收益等。
          3. 工业领域      
    在工业生产中，假设检验用于质量控制。例如，在生产零件时，检验零件的尺寸是否符合标准，或者检验一批产品的合格率是否达到要求等。通过对样本的检验，来推断整批产品的质量情况，从而决定是否接受这批产品。
          五、假设检验相关的常见问题及解答      
    1. 假设检验中的两类错误是什么？      
   

• 答：假设检验中可能犯的错误为弃真错误和取伪错误。弃真错误也称为 I 型错误，是错误拒绝虚无假设 H0；取伪错误也称为 II 型错误，是错误接受虚无假设 H0。
  

2. 如何选择合适的检验统计量？      
   

• 答：要根据所研究的问题、总体的分布情况以及样本的大小等因素来选择。如果总体服从正态分布且方差已知，可选择 Z 检验统计量；如果总体服从正态分布但方差未知，可选择 t 检验统计量等。
  

3. 显著性水平的选择有什么讲究？      
   

• 答：显著性水平通常根据实际问题的需求来确定。一般来说，显著性水平越高，拒绝原假设的门槛越低，但犯 I 型错误的概率也会增加；显著性水平越低，拒绝原假设的门槛越高，犯 II 型错误的概率可能会增加。常见的显著性水平有 0.05 和 0.01。
  

4. 样本大小对假设检验有什么影响？      
   

• 答：样本大小越大，检验统计量的值越稳定，越能准确地反映总体的情况，检验的效力也越高。也就是说，在相同的条件下，大样本更容易拒绝原假设，从而得出更准确的结论。
  

5. 双侧检验和单侧检验如何选择？      
   

• 答：当只关心总体参数是否发生变化，而不关心变化的方向时，选择双侧检验；当关心总体参数变化的方向时，选择单侧检验。
  

6. 非参数假设检验适用于哪些情况？      
   

• 答：当总体分布不明确，或者总体信息知道甚少，无法使用参数假设检验时，就可以使用非参数假设检验。例如，对于一些定性数据的分析，或者总体分布不符合常见的分布类型时，非参数检验是一种有效的方法。
  

7. 假设检验的结果如何解读？      
   

• 答：如果检验统计量的值落在拒绝域内，就拒绝原假设，接受备择假设；如果检验统计量的值不在拒绝域内，就接受原假设。同时，还需要考虑 p 值的大小，p 值越小，说明拒绝原假设的证据越充分。
  

8. 如何避免假设检验中的错误？      
   

• 答：一方面，要合理选择显著性水平，避免过高或过低；另一方面，要保证样本的代表性和随机性，避免样本偏差。此外，还可以增加样本量，提高检验的效力。
  

9. 假设检验在实际应用中需要注意哪些问题？      
   

• 答：在实际应用中，要注意数据的收集和整理，确保数据的准确性和可靠性。同时，要根据实际问题选择合适的假设检验方法，并且对检验结果进行合理的解释和应用。
  

10. 假设检验与区间估计有什么联系和区别？      
   

• 答：联系在于，假设检验和区间估计都是利用样本信息对总体进行推断的方法。区别在于，假设检验是判断是否接受原假设，而区间估计是给出总体参数的一个估计区间。并且，在一定的条件下，两者可以相互转换。
  

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