《置信区间与假设检验》

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置信区间与置信水平

置信区间：统计学中用区间来估计总体平均值的方法。用[a,b]表示样本估计总体平均值误差范围区间，由于a和b的确切数值取决于我们希望自己对于这个区间包含总体平均值这一结果具有的可信程度，因此这个区间叫做置信区间。

全国成年男性的平均身高在165cm~175cm之间，那么这个区间[165, 175]就叫做置信区间。

置信水平：是指这个区间包含总体平均值的概率是多大。95%的置信水平表示，若有100个样本，可以获得100个这样的区间，其中任意一个区间有95%的可能性包含总体平均值。


置信区间（误差范围）：[a，b]  
置信水平Y%：P(a<样本平均值<b)=Y%
大样本计算置信区间方法

1.确定要求解的问题

用样本信息估计总体信息

• 样本大小：100 人
  
• 样本平均值：167.1cm
  
• 样本标准差：0.2cm
  

2.求样本的平均值和标准误差

标准误差SE =\frac{s(样本标准差)}{\sqrt{n(样本大小)}}  (SE=\frac{0.2}{\sqrt{100} }=0.02 )

平均值、方差、标准差 可参见 wiseer：《推论统计分析-随机变量》 中的计算公式

3.确定置信水平

置信水平的取值取决于具体情况，置信水平越高，区间越宽，置信区间包含总体平均值的概率也就越大。
常用置信水平取值95%。


根据中心极限定理，任意一个样本的平均值围绕在总体平均值周围呈现正态分布，图中红色竖线是总体平均值，由正态分布的经验法则，可知95%的样本平均值会落在两个标准误差之内。
4.求置信区间上下限值



置信区间上下限就是a、b的值，距离平均值几个标准误差就是几个标准分，由上图可知置信水平在95%就是两个标准误差，也就是两个标准分，标准分用z来表示


上图中红色区域面积为P(z<a)+P(z>b)=2P(Z<za)= 1-95%=5%
可以先确定a值，即每一块红色的面积区域概率P(Z<za)=2.5%=0.025，查表找到z值
查表：注意阴影部分的面积是Z≤z


查表找到|z|=1.90+0.06=1.96


由极限定理知，样本平均值约等于总体平均值，
a=总体平均值- |z|* 标准误差 =167.1-1.96x0.02=167.0608
b=总体平均值+ |z|* 标准误差=167.1+1.96x0.02=167.1392
综上的，置信水平为95%时，置信区间为[167.0608,167.1392]

总结：大样本置信区间计算步骤

第一步：P(Z<z)=1-置信水平, 查找z表得到标准分z

置信水平	90%	95%	99%
z值	1.64	1.96	2.58

第二步：根据公式计算样本平均值、标准误差
SE =\frac{s(样本标准差)}{\sqrt{n(样本大小)}}   
第三步：计算[a,b]上下极限值
a=总体平均值- |z|* 标准误差
b=总体平均值+ |z|* 标准误差
小样本计算置信区间方法

小样本：当样本数量小于30时，样本分布符合t分布，t分布的图像曲线较为扁平，有两条突出的尾巴



小样本的置信区间计算方法与大样本置信区间计算方法一致，区别在于小样本查找的时t表


查找t表的时候，需要根据置信水平与自由度两个维度进行确定。自由度df=n-1, 其中n为样本数量。
假设检验

假设检验是先对总体参数提出一个假设值，然后利用样本信息判断这一假设是否成立。
假设检验类型

单样本检验：单个样本，检验单个样本的平均值是否等于目标值。（某大学生平均身高是都大于全国平均身高X）
相关配对检验：相关检验，检验相关或配对观测之差的平均值是否等于目标值（为了检测减肥药是否起作用，随机抽样出20名测试对象，记录每个人服药前和服药后的体重)
独立双样本检验：两个独立样本， 检验两个独立样本的平均值之差是否等于目标值。（检验闯关游戏教学方法是有效，分别在两组学生上进行效果测试）
抽样分布类型



检验类型

单尾检验：


双尾检验：


假设检验方法

1.问题是什么？（零假设，备选假设）
明确检验类型、明确抽样分布类型、明确检验方向
2.证据是什么？（零假设成立时，得到的样本平均值的概率 p值）
3.判断标准是什么？（显著水平α：0.1%，1%，5%）
4.做出结论（p⩽α时，拒绝零假设（备选假设成立）反之接受零假设）
假设检验案例分析

汽车引擎（单样本检验分析）、斯特鲁斯效应（相关配对检验分析）、A/B测试（独立双样本检验）
<hr/>Z表格、t表格获取：2333

• 标准正态分布表（Z表格）：链接：https://pan.baidu.com/s/1JLpbb1brhkZOLfUU8293Lg
  
• 标准t分布表（t表格）：链接：https://pan.baidu.com/s/1E759sgQzOeZ3rlX02w91cA
  

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