3 分离变量法

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目录

• 齐次偏微分方程的分离变量（一）两端固定弦的自由振动（二）矩形区域内的稳定问题
  
• 非齐次偏微分方程的分离变量（一）两端固定弦的受迫振动（二）非齐次稳定问题
  
• 非齐次边界条件的齐次化
  

偏微分方程定解问题最常用的、适用范围最广的解法是分离变量法，其基本思路是通过分离变量将偏微分方程转化为常微分方程求解。
从理论上讲，分离变量法的成功取决于本征值问题的以下性质：

• 本征值问题一定有解
  
• 本征函数的全体是完备的
  
• 本征函数一定具有正交性
  

齐次偏微分方程的分离变量

（一）两端固定弦的自由振动
例：两端固定弦的自由振动
\begin{cases} \begin{aligned}&\frac{\partial^{2} u}{\partial t^{2}}-a^{2} \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}=0,\qquad\qquad\qquad&& 0<x<l, t>0\\  &u|_{x=0}=0,\qquad\ u|_{x=l}=0,&&t \geq 0\\  &u|_{t=0}=\phi(x),\quad \frac{\partial u}{\partial t}\Big|_{t=0}=\psi(x), \ \  &&0 \leq x \leq l\end{aligned}\end{cases}  
（1）分离变量
所谓分离变量法，是指我们希望求得具有分离变量形式的特解：
u(x, t) = X(x)T(t)
将特解代入方程即得
\frac{1}{a^2}\frac{T&#39;&#39;(t)}{T(t)}=\frac{X&#39;&#39;(x)}{X(x)}=-\lambda
函数 X(x) 满足的常微分方程和边界条件：
X^{&#39;&#39;}(x)+\lambda X(x) = 0 ,\qquad X(0) = X(l) = 0
以及 T(t) 满足的常微分方程：
T^{&#39;&#39;}(t) + \lambda a^2T(t) = 0
（2）求解本征值问题
X(x) 满足的常微分方程
X^{&#39;&#39;}(x)+\lambda X(x) = 0 ,\qquad X(0) = X(l) = 0

• 函数 X(x) 在这一对齐次边界条件限制下的常微分方程定解问题，被称为本征值问题。
  
• \lambda 的允许取值就被称为本征值，相应的非零解被称为本征函数。
  
• 这里的本征值和本征函数，可以被理解为就是线性微分算子 \mathbf{L} = -\frac{\partial^2}{\partial x^2} 的本征值和本征矢量。
  

并非对于任何 \lambda ，方程都有既满足齐次常微分方程，又满足齐次边界条件的非零解 X(x)

• \lambda = 0 的情形(退化)：
  

    微分方程的通解为 X(x)=A_0x+B_0
    边界条件 \ \Rightarrow \ A_0=0\quad B_0=0
\lambda=0 时只有零解，即 \lambda=0 不是本征值。

• \lambda\not= 0 的情形(非退化)
  

    微分方程的通解为 X(x)=A\sin\sqrt{\lambda}x+B\cos\sqrt{\lambda}x
    边界条件  \ \Rightarrow \ B=0\quad A\sin\sqrt{\lambda}l=0\ \Rightarrow\ \sqrt{\lambda}l=n\pi
    本征值 \ \lambda_n=\left(\frac{n\pi}{l}\right)^2\qquad n=1,2,3,\cdots
    线性无关的本征函数 \ X_n(x)=\sin\frac{n\pi}{l}x\qquad n=1,2,3,\cdots
（3）求特解并叠加出一般解
T^{\prime\prime}(t)+\lambda a^{2} T(t)=0, \quad \lambda_{n}=\left(\frac{n \pi}{l}\right)^{2}, \quad n=1,2,3, \cdots
对于每一个本征值  \lambda_n ，再求解方程 T^{\prime\prime}(t)+\lambda_n a^{2} T(t)=0
可以求出相应的  T_n(t) :
T_n(t)=C_n\sin\frac{n\pi}{l}at+D_n\cos\frac{n\pi}{l}at
因此也就得到了同时满足齐次波动方程和齐次边界条件的具有分离变量形式的特解
u_n(t)=\left(C_n\sin\frac{n\pi}{l}at+D_n\cos\frac{n\pi}{l}at\right)\sin\frac{n\pi}{l}x\qquad n=1,2,3, \cdots
由于偏微分方程和边界条件都是齐次的，我们就把全部无穷多个特解叠加起来得到一般解:
u(t)=\sum_{n=1}^\infty\left(C_n\sin\frac{n\pi}{l}at+D_n\cos\frac{n\pi}{l}at\right)\sin\frac{n\pi}{l}x\qquad n=1,2,3, \cdots
（4）利用本征函数正交性定叠加系数
将一般解 u(x, t) 代入初始条件
u|_{t=0}=\phi(x)\qquad\frac{\partial u}{\partial t}\bigg|_{t=0}=\psi(x)
得到   \sum_{n=1}^{\infty} D_{n} \sin \frac{n \pi}{l} x=\phi(x) \qquad \sum_{n=1}^{\infty} C_{n} \frac{n \pi a}{1} \sin \frac{n \pi}{l} x=\psi(x)
根据对应不同本征值的本征函数的正交性
\int_{0}^{l} X_{n}^{*}(x) X_{m}(x) \mathrm{d} x=\frac{1}{2} \delta_{n m}
得到
D_n=\frac2l\int_0^l\phi(x)\sin\frac{n\pi}{l}x\mathrm{d}x\qquad C_n=\frac{2}{n\pi a}\int_0^l\psi(x)\sin\frac{n\pi}{l}x\mathrm{d}x

（二）矩形区域内的稳定问题
\begin{cases} \begin{aligned} \ & \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}+\frac{\partial^2u}{\partial y^2}=0 &&0<x<a,0<y<b\\ &u|_{x=0}=0,\qquad \frac{\partial u}{\partial x}\Big|_{x=a}=0&&0\leq y\leq b\\ &u|_{y=0}=f(x),\ \ \frac{\partial u}{\partial y}\Big|_{y=b}=0\quad &&0\leq x\leq a\\ \end{aligned} \end{cases}
（1）分离变量
仍用分离变量法求解，令 u(x,y)=X(x)Y(y)
代入方程，分离变量，即得
\frac{X^{\prime \prime}(x)}{X(x)}=-\frac{Y^{\prime \prime}(y)}{Y(y)}=-\lambda
由此我们得到了两个常微分方程
X^{\prime \prime}(x)+\lambda X(x)=0\qquad Y^{\prime \prime}(y)-\lambda Y(y)=0
代入关于 x 的一对齐次边界条件，得到
X(0)=0\qquad X&#39;(a)=0
这样，我们就又得到了一个本征值问题
X^{\prime \prime}(x)+\lambda X(x)=0\qquad X(0)=0\qquad X&#39;(a)=0
（2）求解本征值问题

• 若 \lambda=0 ，则  X(x)=A_0x+B_0
  

    边界条件  \ \Rightarrow\ A_0=0\quad B_0=0
\lambda=0 只有零解，即 \lambda=0 不是 本征值。

• 若 \lambda\not=0 ，微分方程的通解为 X(x)=A\sin\sqrt{\lambda}x+B\cos\sqrt{\lambda}x
  

    代入齐次边界条件，得到 B = 0\quad A \not= 0\quad \cos\sqrt{\lambda}a = 0
    本征值 \lambda_n=\left(\frac{2n+1}{2a}\pi\right)^2\qquad n=1,2,3,\cdots
    本征函数 X_n(x)=\sin\frac{2n+1}{2a}\pi x\qquad n=1,2,3,\cdots
Y(y)  满足的方程是
Y_{n}^{\prime \prime}(y)-\lambda_{n} Y_{n}(y)=0 \qquad \lambda_{n}=\left(\frac{2 n+1}{2 a} \pi\right)^{2} \qquad n=0,1,2,3, \cdots
其解为
Y_{n}(y)=C_{n} \sinh \frac{2 n+1}{2 a} \pi y+D_{n} \cosh \frac{2 n+1}{2 a} \pi y
于是就得到了的既满足Laplace方程，又满足（ x 方向上的）齐次边界条件的特解
u_n(x,y)=\left(C_{n} \sinh \frac{2 n+1}{2 a} \pi y+D_{n} \cosh \frac{2 n+1}{2 a} \pi y\right)\sin\frac{2n+1}{2a}\pi x
将这无穷多个特解全部叠加起来，就得到了一般解
u(x,y)=\sum_{n=0}^\infty\left(C_{n} \sinh \frac{2 n+1}{2 a} \pi y+D_{n} \cosh \frac{2 n+1}{2 a} \pi y\right)\sin\frac{2n+1}{2a}\pi x
（3）定叠加系数
代入关于 y 的非齐次边界条件
u|_{y=0}=\sum_{n=0}^\infty D_n\sin\frac{2n+1}{2a}\pi x=f(x)
求得：   D_n=\frac2a\int_0^af(x)\sin\frac{2n+1}{2a}\pi x\mathrm{d}x
同理，
\frac{\partial u}{\partial y}\bigg|_{y=b}=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{2 n+1}{2 a} \pi\left(C_{n} \cosh \frac{2 n+1}{2 a} \pi b+D_{n} \sinh \frac{2 n+1}{2 a} \pi b\right) \sin \frac{2 n+1}{2 a} \pi x=0  
有：    C_{n} \cosh \frac{2 n+1}{2 a} \pi b+D_{n} \sinh \frac{2 n+1}{2 a} \pi b=0  
D_n 既已求得，上式便给出了 C_n 。
这个问题是稳定问题，与时间 t 无关，因此不出现初始条件（在这里必须区分边界条件和初始条件的差别）。我们的策略是，用齐次边界条件构成本征值问题，用非齐次边界条件定叠加系数。
齐次偏微分方程和齐次边界条件在分离变量法中起着关键作用：因为方程和边界条件是齐次的，分离变量才得以实现。

非齐次偏微分方程的分离变量

（一）两端固定弦的受迫振动
\begin{cases} \begin{aligned} & \frac{\partial^2 u}{\partial t^2}-a^2\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}=f(x,t)\ \qquad 0<x<l,t>0\\ &u|_{x=0}=0,\quad        u|_{x=l}=0\qquad\ \ t\ge 0\\ &u|_{t=0}=0,\quad \frac{\partial u}{\partial t}\Big|_{t=0}=0\qquad0\leq x\leq l \end{aligned} \end{cases}
中心思想：寻找一组完备本征函数组 \{X_n(x),n=1,2,3,\cdots\} ，将解 u(x,t) 以及非齐次项 f(x,t) 按此本征函数组展开：
u(x,t)=\sum_{n=1}^\infty T_n(t)X_n(x)\qquad f(x,t)=\sum_{n=1}^\infty g_n(t)X_n(x)
关于 \{X_n(x)\} 的选取，最方便的做法是选择 \{X_n(x)\} 为相应齐次定解问题的本征函数，即由相应齐次偏微分方程和齐次边界条件给出：
\begin{cases} \begin{aligned} & \frac{\partial^2 u}{\partial t^2}-a^2\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}=0\quad\qquad 0<x<l,t>0\\ &u|_{x=0}=0,\quad        u|_{x=l}=0\ \quad t\ge 0 \end{aligned} \end{cases}
分离变量得到本征值问题
X&#39;&#39;_n(x)+\lambda_nX_n(x)=0,\quad X_n(0)=0,\quad X_n(l)=0
将展开式代入偏微分方程
\sum_{n=1}^\infty T&#39;&#39;_n(t)X_n(x)-a^2\sum_{n=1}^\infty T_n(t)X&#39;&#39;_n(x)=\sum_{n=1}^\infty g_n(t)X_n(x)
利用 \{X_n(x)\} 满足的常微分方程，可化为：
\sum_{n=1}^\infty T&#39;&#39;_n(t)X_n(x)+a^2\sum_{n=1}^\infty\lambda_n T_n(t)X_n(x)=\sum_{n=1}^\infty g_n(t)X_n(x)
根据本征函数的正交性， T_n(t) 应满足
T&#39;&#39;_n(t)+\lambda_n a^2T_n(t)=g_n(t)
将 u(x,t) 展开式代入初始条件，得
\sum_{n=1}^\infty T_n(0)X_n(x)=0\qquad\sum_{n=1}^\infty T&#39;_n(0)X_n(x)=0
即  T_n(0)=0\quad T&#39;_n(0)=0
利用Laplace变换，可以求出
T_n(t)=\frac{l}{n\pi a}\int_0^t g_n(\tau)\sin\frac{n\pi}{l}a(t-\tau)\mathrm{d}\tau

总结：按相应齐次问题本征函数展开

• 优点：具有一定的普遍性，适用范围广。
  
• 依据：齐次边界条件给出正交完备的本征函数集。
  
• 不足：往往给出一个形式十分复杂的级数解。
  

（二）非齐次稳定问题
例：Poisson方程的第一类边值问题
\begin{cases} \begin{aligned} & \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}=f(x,y)\ \qquad 0<x<a,0<y< b \\ &u|_{x=0}=0,\quad        u|_{x=a}=0\qquad 0\leq y\leq b \\ &u|_{y=0}=0,\quad        u|_{y=b}=0\qquad 0\leq x\leq a \end{aligned} \end{cases}
按相应齐次问题本征函数展开。
这里的两组边界条件都是齐次的，我们可以任意选择一组来得到完备的本征函数组。由于 x 与 y 的边界条件均为其次的，这里采用更进一步的做法，即将 u(x,y) 和 f(x,y) 同时既按本征函数 \{X_n(x)\} ，又按本征函数 \{Y_m(y)\} 展开为二重级数：
u(x,y)=\sum_{n=1}^\infty\sum_{m=1}^{\infty}c_{nm}\sin\frac{n\pi}{a}x\sin\frac{m\pi}{b}y
f(x,y)=\sum_{n=1}^\infty\sum_{m=1}^{\infty}d_{nm}\sin\frac{n\pi}{a}x\sin\frac{m\pi}{b}y
将展开式代入方程，即得
-\sum_{n=1}^\infty\sum_{m=1}^{\infty}c_{nm}\left[\left(\frac{n\pi}{a}\right)^2+\left(\frac{m\pi}{b}\right)^2\right]\sin\frac{n\pi}{a}x\sin\frac{m\pi}{b}y=\sum_{n=1}^\infty\sum_{m=1}^{\infty}d_{nm}\sin\frac{n\pi}{a}x\sin\frac{m\pi}{b}y
比较系数得
c_{nm}=-\frac{d_{nm}}{(\frac{n\pi}{a})^2+(\frac{m\pi}{b})^2}

非齐次边界条件的齐次化

为什么边界条件必须是齐次的？
根本原因：齐次边界条件所导致的本征函数的正交完备性，从而实现对方程的解和非齐次项的分解。
例：非齐次边界条件下的波动方程
\begin{cases} \begin{aligned} \ & \frac{\partial^2 u}{\partial t^2}-a^2\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}=0\qquad&& 0<x<l,t>0\\ &u|_{x=0}=\mu(t),\quad        u|_{x=l}=v(t)\qquad &&t\ge 0\\ &u|_{t=0}=0,\quad \frac{\partial u}{\partial t}\Big|_{t=0}=0\qquad&&0\leq x\leq l \end{aligned} \end{cases}
为了应用分离变量法，只有先将非齐次边界条件齐次化。令
u(x,t)=v(x,t)+w(x,t)
对 v(x,t) 的唯一要求是它要抵消掉非齐次边界条件：
v|_{x=0}=\mu(t),\quad        v|_{x=l}=v(t)
那么 w(x,t) 一定满足其次边界条件：
w|_{x=0}=0,\quad        v|_{x=l}=0
则有
\begin{cases} \begin{aligned} & \frac{\partial^2 w}{\partial t^2}-a^2\frac{\partial^2 w}{\partial x^2}=-\left( \frac{\partial^2 v}{\partial t^2}-a^2\frac{\partial^2 v}{\partial x^2}\right)\\ &w|_{x=0}=0,\qquad\ \quad        w|_{x=l}=0\\ &w|_{t=0}=-v|_{t=0},\quad \frac{\partial w}{\partial t}\Big|_{t=0}=-\frac{\partial v}{\partial t}\Big|_{t=0} \end{aligned} \end{cases}

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