方向导数和梯度概念辨析

Rose

方向导数和梯度概念辨析
我们在学习多元函数的时候，经常会困惑于方向导数和梯度的区别以及他们的几何意义，今天让我们来一起辨析一下。
一、什么是方向导数？
定义：函数的增量



与


两点间的距离


的比值，当


沿l趋近于P时，如果此比的极限存在，则称这极限为函数在P 点沿l的方向导数。记作
。


*也就是
。


定义永远是晦涩的，如果我们来形象的类比一下，之前学到的偏导数是指当一个变量变化（例如：x、y），然后函数随着另一个固定变量的方向进行变化，偏导数就是变化的趋势。那么到这里的方向导数就是将偏导数的范围扩大化，从一个变量变化到两个变量甚至多个变量同时变化，但是这个变化同样是沿着空间中的一条线l。
我们来看方向导数的几何解释就会更直观的理解：


如图所示，图a指xoy平面内，曲线l的投影，我们所求的


方向向量图b中就是p点上方z=f（x，y）曲线沿着曲线l切线的斜率，可以这么说：方向向量是你用一把名为切线的尺子在这个曲面上来回的摩擦，而这个方向向量就是你在各个l方向各个位置，这把切线尺子的斜率。
让我们在对照着图a，引出线面的定理：


,其中


是方向l的方向余弦。
不难理解，其实方向向量可以用x和y两个方向的偏导数进行组合来表示，证明如下：
函数可微，那么等量可以表示为：


我们两边同时除以


,得



那么




就是


所以有


warning：
1、在这里我们要继续对偏导数和沿x、y轴的方向导数进行辨析：偏导存在是比沿x、y轴的方向导数存在更高级的概念，偏导存在能推出沿x、y轴的方向导数存在，反之不行。
2、以上概念都能推到多元函数。
二、什么是梯度？
定义：设函数z = f (x, y)在平面区域 D 内具有阶连续偏导数，则对于每一点


,都可以定出一个向量


，这向量称为函数z=f（x，y）在点P（x，y）的梯度，记作


。
我们和方向向量进行比较，我们可以发现方向导数就是梯度乘以l方向上的单位向量。
可以这么说在梯度的方向上是方向向量取最大值的时刻，是函数值增加最快的时刻,如果用更形象的方法来比喻，
函数梯度方向和函数在这点等高线的发现的方向相同，且是从低等高线指向高等高线，而且模就是这个函数在这个法线方向的方向导数。
总结：函数在某点的梯度是这样一个向量，它的方向与取得最大方向导数的方向一致,而它的模为
方向导数的最大值．梯度的模为


总结：
1、方向导数是数
2、梯度是向量
3、梯度的方向就是函数在这点增长最快的方向，以此类推，降低最快的就是梯度的反方向，变化最慢的就和梯度垂直。
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