数独高级技巧（4）：Fish

幸福侠侣

Fish 代表了一组工作原理相同的关于特定候选数的解题技巧。Fish “体型”从小到大包括 X-Wing、Swordfish、 Jellyfish (以及 Squirmbag、 Whale、Leviathan 可以转换成前面的三种），衍生出来的还有 Fish Finned、Sashimi Fish，还有一个更高级的 Franken Fish。

X-Wing：若数字 X 在某两行(列)中只能存在于相同的两列(行)，则这两列(行)的其他格都不能有 X。




看上面两张图，如果用链来看的话，其实这是一个特殊的摩天楼的双强链，绿色部分不能为 X，如果不用链，图中 4 个 X，先假设任意一个 X 为真，是不是绿色部分都不能有 X。
来看两个实例


这个例子中 R2 和 R5 只有两个 5，而且都在 C5 和 C8，根据刚才我们的理论，R4C5 的 5（红色）可以删除。
用这个例子，我再来假设一次，R2 和 R5 里面的 5 至少有一个成立对吧，不然有一行没有 5 就不符合数独规则了。

• 如果 R2C5=5，那么 R4C5 不能是 5
  
• 如果 R5C5=5，那么 R4C5 不能是 5
  
• 如果 R5C8=5，那么 R2C8 不能是 5，R2C5=5，回到 1
  
• 如果 R2C8=5，那么 R5C8 不能是 5，R5C5=5，回到 2
  

R4C5 肯定不能是 5，假设 C5 或者 C8 还有 5 的话，一样的原理。下面的例子我就不解释这么详细了，这个还是很容易理解的。
再看一个例子


C1 和 C5 都只有 2 个 1，而且在 R2 和 R5，那么 R2 和 R5 其他的 1 都可以删除了。
看了上面的图和两个例子，可以发现这个原理里面候选数永远是一个矩形，形成一个 X。你们在填完候选数后，如果发现一个候选数在某一行(列)只有两个的时候，看看其他行(列)是不是有对应的候选数只有两个，形成一个 X，找到了就可以删数。
Swordfish：若数字 X 在某三行(列)中均只能存在于相同的三列(行)，则这三列(行)的其他格都不能有 X。




看上面两张图，一个是标准的，一个是简化变形的。
我先解释一下第一张图的原理，9 个 X 的候选数，无论那一个 X 成立，是不是还剩下 4 个，是一个刚讲的 X-Wing 结构，再按照 X-Wing 的推论就出来了。
看一下简化版本的，我们还是随便一个 X 是真，是不是绿色的格子都不能为 X。
简化版本有很多种变形，但必须要满足那一行(列) X 的个数是 2-3，只有 1 个直接就能出来了，大于 3 个就不符合我们开始的定义了，所以X 的结构可以是 333 - 222 里面的排列组合。
来看两个实例


候选数 2 在 R239 大于 2 小于 3 符合我们上面说的定义，而且在 C158 有关联，所以 C158 其他的 2 可以删除，图中红色部分。我们一般把 R239 叫做 Base，C158 叫做 Cover。


候选数 4 Base 在 R247，Cover 是 235，所以 Cover 上的其他 4 都可以删除。
Jellyfish：若数字 X 在某四行(列)中均只能存在于相同的四列(行)，则这四列(行)的其他格都不能有 X。
原理就不推论了，你们应该能自己推出来。
直接看例子


候选数 7 Base R3467，Cover C1259，删除 Cover 的其他 7（红色）


候选数 7 Base R1367，Cover C2589，删除 Cover 的其他 7（红色）
怎么找 Fish 结构
在填候选数的时候，你们可以看一下行(列)中某个数字的个数，比较容易的还是 X-Wing 和 SwordFish，JellyFish 还是挺难发现的，至少我只用到过一两次。如果填候选数没有发现，我一般会在填完候选数后，截一张图，把还剩中等数量的候选数（3-5）个数字没填的那种画一次圈圈，画完后比较容易看到（推荐 iPad 的那支笔，真的优秀）
高级 Fish（变异的 Fish）
鱼是一种很神奇的技巧，但是往往在出现的时候，并不是那么频繁，而往往会多出来一点点。这也就产生了两种变异类型。
Fish Finned
我们用例子直接说明


上图中候选数 9 比 X-Wing 结构多出来一点东西，看蓝色的 9，这个时候 Fish 怎么用呢？
我们还是来做推论
R2C1 = 9 那么 R3C3 的 9 可以删除
R2C1 != 9 那么 绿色的 9 还是一个标准的 X-Wing，R3C3 的 9 也可以删除
多出来的这个 9，叫做 Finned，中文一般叫做鱼鳍，他的作用是把 Fish 的删除范围限定在来 Finned 的宫内，所以上图这个结构，我们只能删除 R13C3 的 9，R1C3 已经有数字了，只有 R3C3 可以删除。
再看一个 SwordFish 的例子


蓝色的 7 是 Finned，让这个 SwordFish 的删除范围限定在 B3
再来一个 JellyFish


看鱼鳍和可以删除的部分
Sashimi Fish
刚我们说了Fish Finned，那这种结构是不是还能简化呢？当然是可以的，但这个鱼的结构就更加奇怪了，而且变化多端，先看一个标准版本


如盘面所示。这里有一个类似于 Fish Finned 的形状：Base 为 C28，Finned 位于 R4C8。但是又有点不一样的地方，在 Finned 宫内 X-Wing 的那只“腿”不见了，不过没关系。
根据 Finned 的推理方法，要么 Finned 成立，要么 X-Wing 成立。
现在 X-Wing 少了一个数字，我们来看看怎么推论。
假设 Finned R4C8 != 7，那么 R8C8 = 7，R6C2 = 7，R6C7 != 7
假设 Finned R4C8 = 7，那么 R6C7 != 7
所以红色的 7 一定可以删除
这种结构就是 Sashimi Fish
在看一个例子


R23C6 的 9 作为一个 Group 的 Finned，大家可以想一想。
在 X-Wing 的结构里面，无论是 Fish Finned 还是 Sashimi Fish 其实都可以用双强链的摩天楼来删数字，看过前面双强链的朋友可能觉得用摩天楼更加简单，但到 3 个数或者 4 个数字的时候，摩天楼就很难用上了。
来看 3 个数字的


还是一样的推论，Finned 成立或者 SwordFish 成立，Finned 只是把删除范围限定到了 Finned 所在的宫内的 Cover 集
看看 4 个数字


Base R1469{8}，Cover  C1289{8}，Finned R9C3{8}，删除集限定在 B7 中的 Cover 集，也就是 R78C12
Franken Fish
前面我们讲了鱼的带鳍变形，其实它的形状也是可以变异的。
来看一张图


这张图还是一个标准的 SwordFish，只是移动了 SwordFish 的 Cover 集，最右边两列在同一个宫里面
我们再改动一下，变成下图


绿色部分是不是还能继续删除呢？
我们还是继续假设
无论 B3 中的 C7 任意一个 X 为真，还是 B3 中的 C8 任意一个 X 为真，还是 那么 R5 和 R8 剩下的 4 个 X 还是一个标准的 X-Wing，绿色部分都能删除。
B3 中 C7 和 C8 6 个格子必须要有 X，要没有那么 B3 就没有 X 了，不符合数独规则。
所以绿色部分的 X 还是可以删除的。
当然，这个结构也是可以简化的，最简形式如下图


这个的原理我相信你们自己也可以推出来的
还是看例子吧


Base = R34B9{1} Cover = C489{1}，可以删除 C489 其他的 1
最后还有两个例子，大家自己揣摩一下。




例子的参考链接
Single Digit Patterns
[数独高级技巧] 鱼
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