光的时间相干性和空间相干性怎么理解？

虎威将军

一直搞不清光的这两个相干性的区分，我现在的理解是，光的时间相干性是由于原子一次发光时间的有限，使每个波列是有限的导致时间相干性，我们可以用波列的长度来定量的描述光的时间相干性。而空间相干性是因为发光的光源不是点光源导致的，不同的点发出的光的相位会有变化，不清楚以上的理解对不对。还有对于光的空间相干性，有没有一个可以定量描述的物理量？
原文地址：https://www.zhihu.com/question/24382081

清风寡欲

思考这个问题很久了，现在用热乎的论文来答一波：
Low-coherence semiconductor light sources: devices and applications. npj Nanophoton

空间相干性和时间相干性分别描述了在不同空间位置和不同时刻观察到的光场之间的相关性。为了定量评估时间和空间上的相干性程度，可以使用一阶相关函数，其表示为：

当时间延迟 =0，它提供同一时刻两个不同位置光场之间存在联系信息，也就是空间相干。当 1= 2，它描述的就是同一时间不同时刻光场的相关程度，也就是时间相干性，对于大多数光源来说，当延迟τ变得足够长时，相关函数从最大值 1（当τ  = 0 时）逐渐下降到无穷小水平，标志着相干性完全丧失（越远光斑越来越大，对比度越来越低）。
时间相干性

时间相干性表示光束内光波相位随时间保持相关或相干的程度。它定义了光场波动的规律性和可预测性。时间相干性在涉及干涉现象和光波动态行为的背景下至关重要。为了定量评估时间相干性，引入了相干时间τc的概念，它测量光波保持相关相位的持续时间。相干时间与相干光源的光谱宽度 (Δ ν)密切相关：

此处，光谱宽度 表示光谱宽（构成光的频率数量）。具有高时间相干性的光源表现出较窄的光谱宽度（以单一、明确的频率或颜色为特征）（左图b），但较窄的光谱带并不一定能保证较高的时间相干性，因为相位相关性不能仅从光谱中显示出来。在高时间相干性的光源中，波的不同部分之间的相位关系保持不变，从而导致较长的相干时间。相反，具有较宽光谱宽度（涵盖广泛的频率和颜色）的光源在不同光谱成分之间表现出随机的相位关系，从而导致较短的相干时间和降低的时间相干性 （左图c）。
根据相干时间和光速 ，可以引入相干长度，其表示在保持相干性的情况下光波可以传播的距离。对于具有高斯发射光谱的光源，相干长度采用以下表达式：

其中n表示介质的折射率，λ表示中心波长，Δλ表示发射光谱的半峰全宽 (FWHM)。
可以通过相干长度来评估具有不同时间相干度的各种光源：

• 包括白炽灯和自然太阳光在内的热光源通常表现出纳米级的相干长度。而LED 通常具有小于 20 μm 的相干长度。通常，这些光源代表非相干源，其组成光场随时间的推移没有可辨别的相位关系。如图 a所示，当光束缺乏时间相干性时，由于相位噪声，各个单色波的相位在其时间演变过程中呈现随机和不相关的值，并且光看起来像是各种频率和随机相位的波的混合。
  
• 与此形成鲜明对比的是，传统高相干气体激光器的时间相干长度可达厘米或米级，而半导体激光二极管通常将相干长度保持在数百微米，这意味着在这个传播过程中，各个光波之间保持高度相关的相位。如图b所示，高时间相干光的波峰和波谷随着时间的推移保持一致的关系。这会导致光谱较窄。
  
• 图c所示的低相干光源弥合了高相干光和非相干光之间的差距，非相干光通常表现出几十微米的相干长度，对应的光谱带宽为几十纳米，有时甚至超过100纳米。它们可以缓解高相干性及其产生的干涉噪点，而且还为照明提供了高功率和高效率。有效缓解了非相干性光源中低能和高相干性光源中高噪声水平的问题。
  

空间相干性

空间相干性描述的是光束内同一波前各个空间点上各个光波相位之间的相关性。考虑一束激光束的横截面，其光束质量受衍射限制，不同位置处的光场以完全相关的方式振荡。空间相干性与干涉图案的形成有着直接的关系。当相干光波相交时，它们会产生边界清晰、稳定的干涉条纹，就像杨氏双缝实验中的那样，如图d-f所示。在空间不相干的情况下（图d），发射光在不同空间点具有随机相位关系，从而产生更宽更平滑的轮廓。这些光源可以用自然光源来表示，例如 LED、白炽灯和太阳。相反，单模激光发射波在空间中表现出高度相关性（图e）。从不同空间点发出的单个波前在传播过程中保持一致的相位关系，穿过两个狭缝后在屏幕上产生清晰且轮廓分明的干涉条纹。在空间相干性较低的场景中（图f），从不同点发出的波前无法保持稳定的相位关系。这导致屏幕上出现褪色或不太清晰的条纹图案。
通过检查双缝实验中形成的干涉条纹的亮度和暗度，可以定量评估光的空间相干性，采用称为条纹可见度或条纹对比度的参数C，其定义为：

在这个表达式中， 和 分别表示干涉条纹在某一位置的最小强度和最大强度。条纹对比度是衡量条纹可分辨程度的量度，当干涉条纹几乎无法区分时(不相干)，其最大值与最小值几乎相等，即C≈0 ；当条纹对比度明显清晰时（强相干），最大值可以明显大于最小值，即C≈1。
<hr/>激光原理和量子光学中的相干性

上述围绕时间和空间相干性的讨论来源于几何光学和波动光学的原理。在激光物理学中，两者都表示在所谓的“相干体积”中。这种观点体现在通过增益介质中的受激发射过程产生的激光的相干特性 。在此过程中，理想情况下，每个发射的光子都具有相同的传播方向、频率、偏振和相位属性。这种一致性提高时间和空间相干性。此外，激光的高时间相干性还归因于光学腔形成的谐振器模式的存在。例如，当只有一个模式具有持续振荡所需的激光增益时，该模式会产生单频操作，其特点是时间相干性极高。
相干体积定义为相干性面积 （暗示空间相干性）与相干长度 （按时时间相干性）的乘积：
相干性在波矢空间中可以用光子简并度来表示：光子简并度表示一个相干体积内的光子数量，光子简并度越高，相干性就越高。

是相空间中每个模式与其最近相邻模式之间的间隔。
相干性的微观视角用光子简并度来描述，而宏观视角则可以用相干时间或用条纹对比度等来描述。
值得注意的是，虽然高时间相干性和空间相干性通常共存，但它们本质上并不相互关联。相干性属性的多样性产生了四种不同的组合，如下图所示：

• 第一种情况表示具有高空间相干性但伴有低时间相干性的光。虽然光束质量保持较高，但其传播路径上会发生相位变化。此类光束可用于时域 OCT 等场景，其中成像依赖于宽带光源和集中的能量分布。在这种情况下，高分辨率需要低时间相干性。适合此类应用的光源包括来自激光放大器或 SLD 的放大自发辐射 (ASE)。
  
• 具有高空间和高时间相干性的单色高斯光束。这种光源非常适合光纤通信、精密激光切割和光刻等应用。
  
• 同时表现出低时间和低空间相干性的光源。这一类别包括 LED 和热光源，是理想的照明源，已用于室内照明、消费电子产品屏幕和农业生产等各种应用。
  
• 低空间相干性但仍保持高时间相干性的光束。在这种情况下，波前可能会出现变形，导致光束发散度更高，对比度降低。这种配置可以来自随机激光器，它可以在显示和投影中找到许多应用，提供无散斑成像。
  

<hr/>简单版表示：

时间相干性（Temporal Coherence） 描述了光波在时间上的相干程度，即光波在不同时间点的相位一致性。通过相干时间（τc）和相干长度（lc）来量化：

• 相干时间：光波保持相位一致的时间长度，通常与光源的频谱宽度（Δν）相关联。相干时间越长，光波的相位关系越稳定。
  
• 相干长度：光波在相干时间内传播的距离，等于相干时间乘以光速（c）。例如，激光器的相干长度通常较长，而LED的相干长度较短。
  

空间相干性（Spatial Coherence） 空间相干性描述了光波在空间上的相干程度，即光波在不同空间点的相位一致性。通过相干面积（Ac）和条纹对比度（C）来量化：

• 相干面积：光波在空间上保持相干的区域大小。相干面积越大，光波在空间上的相位关系越稳定。
  
• 条纹对比度：在双缝干涉实验中，通过条纹的明暗对比度来衡量。对比度越高，空间相干性越强。
  

Lu, H., Alkhazragi, O., Wang, Y.et al.Low-coherence semiconductor light sources: devices and applications.npj Nanophoton.1, 9 (2024). https://doi.org/10.1038/s44310-024-00005-w

检验医师

任何一个作为时空函数的物理量 ，我们说到它的时间相干性怎么样就是说在t时刻 和一定时延之后的 之间的关联程度在不同系综个体间的一致性怎么样，这也和“相干”这个词的汉语意义是一样的（指一致性）。同理空间相干性怎么样就是说在 这个点 和一定偏移处的 之间的关联程度在不同系综个体间的一致性怎么样。后面会提到为啥会涉及系综。
那么描述这种关联的数学表达式很自然就是 （ 表示系综平均），即和的correlation，或者叫归一化协方差。很显然 时是100%关联的，此时也有 。也可以定义自关联函数 ，并用定义 来表达关联性，即 时延之后的关联度和0时延的关联度之比是多少，很显然不管哪种定义真正重要的是自关联函数。空间相干性的表达式可以依葫芦画瓢。
那么问题就在于为啥有所谓的系综平均呢，也就是为啥涉及到统计学方法呢。这是因为我们对这个物理量u缺乏足够的knowledge，无法确切给出t时刻 处的值，所以不得不引入随机变量描述u。这个“随机”不是真随机，而是系统太过复杂我们把握不了全部信息，比如开放系统，其与环境的相互作用很复杂，比如一个布朗粒子，我们只能从统计意义上描述其位置或动量（即 是随机过程）。所以扯了这么多，相干性就是指系综的不同个体间的一致性，相干性越好说明一致性越高。
比如具体到激光的时间相干性，那么就是考察电场的自关联函数 。对于完美的单色光很显然有 ，但这是不可能存在的，因为激光受各种环境噪声影响（振动，泵浦噪声，温度涨落等等），以及内禀的原子自发辐射导致的频率不确定，这意味着真实的激光模型应该是 ，即引入随机过程 （相位噪声）来表示激光有一定的频率不确定性 ，正是一定的频率不确定性导致了有限的时间相干性。那么有：
。
这里 表示 的功率谱密度（PSD），且推导假设了 是高斯噪声并利用了Wiener-Khinchin theorem，具体参考：
量子比特相干时间测量。若假设频率噪声是白噪声（当然现实中也是不可能的，只能作为一种理想模型感受一下），即功率谱密度是常数，则 ， 为扩散系数。那么有 ，即 以e指数震荡衰减，那么很自然的相干时间可定义为contrast衰减为零时刻的 所需要的时间，即 。这种衰减正是系综的不同个体的不一致造成的。电场的功率谱密度为 ，因此频率噪声为白噪声的激光谱线为洛伦兹型： ，因此激光线宽（linewidth）即谱线半高全宽（FWHM）为 。由此可以看到 ，即相干时间反比于线宽，即说明激光单色性越好其时间相干性越好。
对于空间相干性也是一样的，真实的激光可以模拟为 ， 和 为平均的频率和波矢。那么波矢不确定性 ，正是一定的波矢不确定性导致了有限的空间相干性，此时频率不确定性就是 。实际上式可理解为波前可能存在一定畸变的平面波，当然若 仅是 的函数，那么波前仍是平面，但此时的波不再具有固定空间周期 。若设 方向为z向，则表征空间相干性的量为：
。可以预见系综平均项会导致 随 振荡衰减，那么当contrast衰减为零偏移的1/e时， 会扫过一定的体积，这个体积的大小即可用于表征空间相干性，不妨称其为相干体积。当然若 仅依赖于一个坐标，那么 应该是扫过一定的长度，这个长度可用于表征空间相干性，称其为相干长度。同理若依赖于两个坐标，则应该有相干面积。

大力水手

9月初统计光学出分了，小论文写的是相干性相关的内容，现在来回答一下这个问题。
<hr/>光场相干性理论是通过研究光场的统计性质来描述光波相干特性的理论。相干性是定量描述两束光相互关联程度的一个物理量。最常见的两种相干性是时间相干性和空间相干性，此外也有谱相干性和频率相干性的概念。
时间相干性描述的是一束光在两个时间点的相关程度，通过自相干函数和自相干度来描述光场的时间相干性：


空间相干性描述的是两束在空间中不同点的光的相关程度，通过互相干函数和复相干度来描述光场的空间相干性：


时间相干性在时域描述相干性，空间相干性在空间-时间域描述相干性。谱相干性在空间-频率域描述相干性，这个概念由L. Mandel和E. Wolf于1976年提出[1]。频率相干性在频率-时间域描述相干性，这个概念由祝宁华等人于2009年提出[2]。感兴趣的朋友可以去查文献了解这俩概念

卡卡

相干性（Coherence）从字面意思上来理解的话就是两束光发生干涉的程度。
想要完全理解这个概念可能要完全啃透《物理光学》和《激光原理》，以前刚刚学了一点物光就过来冒冒失失答题了，现在重新再写一下吧。
《Coherence》本身也是一部科幻电影，类似于恐怖游轮一样烧脑的片子，感兴趣可以搜一下；
关于物光的学习，推荐一下大佬写的光学笔记：
Tyalmath：工程光学（二）——光的干涉--------------------------------------------------------------------
一、基于物理光学上的理解[1]
要谈相干性首先得明白什么是相干光。相干光其实就是两束光叠加形成的光，当然这么说有点太宽泛了，讨论相干时需要排除掉偏振问题（振动方向不同）以及光拍问题（频率不同）——也就是说要保证两束光的频率、振动方向都相同。
对于干涉问题最重要的研究是两束光的相位差，因为对于两束正弦振动的光束来说，它的光强度满足： ，即相干光强分布完全由相位差δ决定。而相位差δ应当满足： ，即两束光真空下的波数k0和光程差 相乘。
对相干光好坏的定量描述是基于干涉条纹明暗是否分明来判别的，使用的参数是条纹的对比度K，它满足 。当条纹完全无法区分时，最大最小值几乎相等，K=0；当条纹对比相当清晰时，可以认为最大值远大于最小值，K=1——当然对于理想相干光，余弦平方的最值就是0和1，自然K=1。
实际的相干光会考虑扩展光源和非单色光的问题，自然地，这里对比度K应该是描述这种误差的函数。在讨论具体的表达式之前，可以注意到，扩展光源的线度（即长度）或者面积/体积是“几何空间”上的影响因素，即“空间相干性”；非单色光可以考虑成频率上有一定宽度，即 。而频率量纲为1/s，是一个“与时间有关”的量纲，即“时间相干性”——当然这里是便于理解，从而人为地对概念上进行调整，事实上非单色光也可以利用波长描述（ ）甚至波数（ ）描述，这种描述只是通过真空中光速c进行了一个量纲上的变换，无本质区别。
基于《物理光学》中的分析，我们可以写出在时空相干下条纹对比度K的函数表达式：
空间相干： ，其中b为光源线度，β=d/l为干涉孔径角；
时间相干： ，其中Δk为光的波数范围， 为光程差；
时空相干的K函数都是sinc函数，图像为：



sinc函数图像

当sinx=0时取得第一零点，以线度b和波数Δk为变量，容易求得得到第一零点时相应的参数值为：
, [2]
这两个参数反映了在时空相干下的临界值，被称为相干宽度和相干长度。当然你会发现这两个量都是空间量纲，为了更好地将后者描述成“时间相干”，也会利用光速c将后者转化成时间量纲，即： ，相应地被称为相干时间。
考虑到： [3]，得到： [4]。
即光的线宽（频谱宽度）和相干时间成反比。
《物理光学》中更直观地对时空相干性的描述采用了一个球面波为例子，如下图所示：



利用球面波相干性的描述

S为光源，会发出一个球面波。在同一时刻，波会传播到S1和S2两点，二者存在一个空间距离，当满足 时则相干，此时为空间相干。自然地，在不同时刻，波会传播到S2和S3两点，二者存在一个时间差，当满足 时则相干，此时为时间相干。
当然，也可以不把后者转化为时间量纲表述，单纯从空间上看的话，S1和S2之间的距离不属于波传播方向上的位移，称为横向空间相干；反之，S2和S3为纵向空间相干，相干条件变为 ，也就是利用相干长度而非相干时间来表述，即利用光速c做了一个量纲变换，无本质区别。
另一个对时间相干性的理解，就是光波的有限性。也就是说光波不是理想上的无限延伸，而是有限长的，这一点可以从多个角度上来理解[5]。
这种有限长的光波也被称为波列。两个波列要叠加（重叠），自然要保证二者的距离差（也就是光程差）要小于波列自身的长度——这与时间相干性的描述如出一辙。事实上在《物理光学》中，也从数学上证明了相干长度就是波列长度[6]。



波列及其频谱示意图

对于上述讨论更普遍的情况是会同时存在扩展光源和非单色性的影响，此时需要将电场作为时间信号来处理了，定义自相关和互相关函数，并建立时间相干度或空间相干度等概念。鉴于作者水平有限，感兴趣的读者可以自行查阅《物理光学》或者Goodman的《统计光学》。
对空间相干性的讨论表明了一旦使用扩展光源，是以牺牲光源相干性为代价的。但是如果不用扩展光源，光照强度肯定会下降，在实验观察时会看不清条纹[7]。那么自然地会想到，能不能作出一种发光面小，强度高，相干性强的光源呢？要解决这个问题，必须深入到光学的微观领域——激光便应运而生了。
二、基于激光原理上的理解[8]
激光（LASER）全名“受激辐射光放大”。从发光机制上来看，普通光源（白炽灯、LED等）为自发辐射发光，而激光是受激辐射发光。前者为原子自发地、随机地从高能级跃迁到低能级；后者是通过入射光的激励而产生。



自发辐射过程



受激辐射过程

对于激光中的相干性描述，是将时间相干和空间相干结合讨论。即空间相干取相干面积 ，时间相干取相干长度 ，从而定义相干体积 ；再利用《物理光学》得到的时空相干性条件求出表达式为： ，这里的Δθ对应于前文中提到的干涉孔径β，对应于激光的发散角。
《激光原理》中对相干体积的描述还可以作两个等价：

• 光在腔体为 形成的驻波（驻波相当于两个传播方向相反的相干光）：
  

，在xyz方向波数k的分布，即所谓模式（mode）的概念。
2. 考虑光子三维情况下的测不准关系：
得到： ，即所谓相格空间体积，对应一个光子态的体积。
再考虑到三个方向上的动量有：
且对于各个方向上的动量： 联立得到：

即：相干体积=相格空间体积=单模体积
有了上述理论的等价性以后，相干体积不仅统一了宏观上的相干性（时空相干）也代表了微观上的光子态或者光波模式，于是统一定义了物理量：光子简并度 ，即相干体积中的光子数——相干体积内的光子数越多，光子简并度越高，光的相干性越好。
总结一下就是，微观上的相干性是用光子简并度 来描述的，而宏观上的相干性是条纹对比度K来描述的。
《激光原理》中阐明了激光具有的特性：单色性、相干性、方向性和高亮度——四大特性可以归结为强相干性，或者光子简并度高——因为单色性好即线宽 窄，相当于时间相干;方向性好即发散角 小，相当于空间相干; 光源单色亮度 （详见书内推导），强相干就意味着高亮度。
至于激光为什么会有强相干性呢？这个严格理论要留给量子电动力学了。

长长的路

相干性是指空间任意两点光振动之间相互关联的程度。空间相干性（横向相干性）是来自光源不同点同一时刻发出的光波间的相干性。时间相干性（纵向相干性）是指光源同一点在不同时刻发出的光波间的相干性。
        一个光源的空间相干性和时间相干性的优劣，微观上是由其发光机制决定，宏观上则由其空间发光面积和单色性决定。发光面积越小，光源的空间相干性就越好；单色性越高，则光源的时间相干性越好。
       光源的时间相干性，可用谱线宽度和最大光程差来表示，也可用相干长度和相干时间来表示（相干时间是指原子的平均发光时间间隔；相干长度是在相干时间内光走过的路程），它们是从不同的方面来描述光源的时间相干性，相互有一定的联系。