（大四）解放双手——弹性力学中爱因斯坦的张量表示方法

青草

今天写一篇弹性理论的张量表示，为后续推导公式节省时间。
如果习惯了张量表示，我们可以做到n个方程用一个式子简洁的表达，反而更能看清楚表达的物理意义（不变性记法），毕竟相对论也是用张量表达的。
零、基础记忆：
G=\frac{E}{2\left( 1+\mu \right)}
\lambda=\frac{E\mu}{（1+\mu）（1-2\mu）}
\theta=\varepsilon_{kk}=\varepsilon_{x}+\varepsilon_{y}+\varepsilon_{z}
\Theta=\sigma_{kk}=\sigma_{x}+\sigma_{y}+\sigma_{z}
一、平衡方程：
∇·\sigma + f =0
\sigma_{ij，j} + f_{i} = 0
note：平衡方程中使用得是应力的散度，表征强度。体力越大，所需要的应力强度就大。
二、几何方程：
\varepsilon=\frac{1}{2}（∇u+u∇）
\varepsilon_{ij}= \frac{1}{2} （u_{i，j}+u_{j，i}）  
note：梯度是一个表征变化率的物理量，此处使用哈密尔顿算子与位移矢量的并积，两个矢量的并积构成一个二阶张量。而应变正是位移变化的不规律导致的。
note：此处的是张量应变，而不是工程应变。
note：特别注意以下表达
u_{j，ij}=u_{j，ji}=\frac{\frac{\partial u_{j}}{\partial x_{j}}}{\partial x_{i}} =\frac{\partial（\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial v}{\partial y}+\frac{\partial w}{\partial z}）}{\partial x_{i}}  
\frac{\partial（\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial v}{\partial y}+\frac{\partial w}{\partial z}）}{\partial x_{i}} = \frac{\partial（\varepsilon_{x}+\varepsilon_{y}+\varepsilon_{z}）}{\partial x_{i}} = \frac{\partial\theta}{\partial x_{i}}=\theta_{，i} 即：
u_{j，ij}=\theta_{，i}
三、物理方程：
\varepsilon = \frac{1}{2G} \sigma -\frac{\mu}{E}\Theta I
\sigma =2G \varepsilon + \lambda\theta I
\varepsilon_{ij} = \frac{1}{2G} \sigma_{ij} - \frac{\mu}{E} \sigma_{kk} \delta_{ij}
\sigma_{ij} = 2G \varepsilon_{ij} + \lambda \varepsilon_{kk}\delta_{ij}
note：记忆方法为，左侧为应力（应变），右侧就出现应变（应力）项，另一项为应变（应力）的求和项附带delta乘系数。
note：左侧为应力时，即没有分数，也没有减号，求和项带一个lambda。左侧为应变时，求和项即有分数，又带负号，模量的项在分母，分子为泊松比。
四、位移边界条件：
u=\bar u
u_{i}=\bar{u_{i}}
五、应力边界条件：
\sigma · n = \bar{f}
\sigma_{ij}n_{j}=\bar{f_{i}}
六、按位移进行求解：
物理方程：
\sigma_{ij} = 2G \varepsilon_{ij} + \lambda \varepsilon_{kk}\delta_{ij}
几何方程：
\varepsilon_{ij}= \frac{1}{2} （u_{i，j}+u_{j，i}）  
联立物理方程与几何方程：
\sigma_{ij} = G （u_{i，j}+u_{j，i}） + \lambda \varepsilon_{kk}\delta_{ij}
平衡方程：
\sigma_{ij，j} + f_{i} = 0
联立平衡方程与物理方程与几何方程：
（G （u_{i，j}+u_{j，i}） + \lambda \varepsilon_{kk}\delta_{ij}）_{，j} + f_{i} = 0
Gu_{i，jj}+Gu_{j，ij}+（ \lambda \varepsilon_{kk}\delta_{ij}）_{，j} + f_{i} = 0
其中：(\lambda \varepsilon_{kk}\delta_{ij})_{,j}= \lambda \theta_{,i}
其中：  G(u_{j,ij})=G\theta_{,i}
得到用位移表示的平衡方程：
Gu_{i,jj} + ( \lambda +G ) \theta_{,i} +f_{i} = 0
应力边界条件：
\sigma_{ij}n_{j}=\bar{f_{i}}
带入位移表示的应力：
（G （u_{i，j}+u_{j，i}） + \lambda \varepsilon_{kk}\delta_{ij}）n_{j}=\bar{f_{i}}
得到位移表达的应力边界条件：
G (u_{i,j}+u_{j,i}) n_{j} + \lambda \varepsilon_{kk}n_{i}=\bar{f_{i}}
七、应变能密度：
单向拉伸的应变能密度推导：
v_{\varepsilon}=\int_{0}^{\varepsilon_{x}} \sigma_{x} d \varepsilon _{x} =\frac{1}{2} \sigma_{x} \varepsilon_{x}
用张量表示的全应变能密度：
v_{\varepsilon} =\frac{1}{2} \sigma ：\varepsilon =\frac{1}{2} \sigma_{ij} \varepsilon_{ij}
用应变来表示应变能密度：
\sigma_{ij} = 2G \varepsilon_{ij} + \lambda \varepsilon_{kk}\delta_{ij}
v_{\varepsilon} =\frac{1}{2} \sigma :\varepsilon =\frac{1}{2} (2G \varepsilon_{ij} + \lambda \varepsilon_{kk}\delta_{ij}) \varepsilon_{ij}
\frac{1}{2} (2G \varepsilon_{ij} + \lambda \varepsilon_{kk}\delta_{ij}) \varepsilon_{ij} =G \varepsilon_{ij} \varepsilon_{ij} + \frac{1}{2} \lambda \varepsilon_{kk}\delta_{ij} \varepsilon_{ij}
G \varepsilon_{ij} \varepsilon_{ij} + \frac{1}{2} \lambda \varepsilon_{kk}\delta_{ij} \varepsilon_{ij} =G \varepsilon_{ij} \varepsilon_{ij} + \frac{1}{2} \lambda \theta^{2}
v_{\varepsilon}=G \varepsilon_{ij} \varepsilon_{ij} + \frac{1}{2} \lambda \theta^{2}
得到应变表示的应变能密度：
v_{\varepsilon}=\frac{1}{2}[\frac{E}{\left( 1+\mu \right)} \varepsilon_{ij} \varepsilon_{ij} + \frac{E\mu}{（1+\mu）（1-2\mu）} \theta^{2}]
note：应变能（应变能密度）是应变的泛函。
八、应变余能密度：
v_{c} =\frac{1}{2} \sigma ：\varepsilon=\frac{1}{2}\sigma_{ij}(\frac{1}{2G} \sigma_{ij} - \frac{\mu}{E} \sigma_{kk} \delta_{ij})
\frac{1}{2}\sigma_{ij}(\frac{1}{2G} \sigma_{ij} - \frac{\mu}{E} \sigma_{kk} \delta_{ij})=\frac{1}{2E}[(1+\mu)\sigma_{ij} \sigma_{ij} - \mu \Theta^{2} ]
得到应力表示的应变余能密度：
v_{c}=\frac{1}{2E}[（1+\mu）\sigma_{ij} \sigma_{ij} - \mu \Theta^{2} ]
note：应变余能是应力的泛函。
九、应变能与应变余能：
V_{\varepsilon}=\int_{V}^{}\frac{1}{2}[\frac{E}{\left(1+\mu \right)} \varepsilon_{ij} \varepsilon_{ij} + \frac{E\mu}{(1+\mu)(1-2\mu)} \theta^{2}] d V
V_{c}=\int_{V}^{}\frac{1}{2E}[（1+\mu）\sigma_{ij} \sigma_{ij} - \mu \Theta^{2} ] dV
十、弹性力学的变分原理：
位移变分方程：
\delta V_{\varepsilon} = \int_{V}^{} f_{i} \delta u_{i} dV + \int_{S_{\sigma}}^{} \bar{f_{i}} \delta u_{i} dS
note：位移边界上，位移的变分为0。
虚功原理：
\int_{V}^{} \sigma_{ij} \delta\varepsilon_{ij} dV = \int_{V}^{} f_{i} \delta u_{i} dV + \int_{S_{\sigma}}^{} \bar{f_{i}} \delta u_{i} dS
note：基于能量守恒原理，即外力在虚位移上做的虚功等于应力在虚变形上做的虚功。
最小势能原理：
E=V_{\varepsilon} + V_{p}=V_{\varepsilon} -W
E=\int_{V}^{} \frac{1}{2} \sigma_{ij} \varepsilon_{ij} dV -[ \int_{V}^{} f_{i} u_{i} dV + \int_{S_{\sigma}}^{} \bar{f_{i}} u_{i} dS]
\delta E （u_{i}）= 0
应力变分方程：
\delta V_{c } = \int_{S_{u}}^{} \bar{ u_{i} }\delta\bar{f_{i}} dS
虚应力原理：
\int_{V}^{} \delta \sigma_{ij} \varepsilon_{ij} dV = \int_{S_{u}}^{} \bar{ u_{i} }\delta\bar{f_{i}} dS
最小余能原理：
E_{c}=V_{c}-\int_{S_{u}}^{} \bar{ u_{i} }\bar{f_{i}} dS
\delta E_{c} （\sigma_{ij}） =0

原文地址：https://zhuanlan.zhihu.com/p/34095023