时间分辨率和频率分辨率的一些理解

检验之星

在准备写短时傅里叶变换的时候，突然意识到之前对这块的理解有些模糊，查阅了一些书籍文章，顺便写下来加深自己的理解，有理解不到位之处或错误之处，欢迎批评指正。
之前的一些疑问：
1. 增加时间分辨率（增加采样率）可以更清楚的看清更多的信号，怎么就是会降低频率分辨率了呢？
2. 如果采样率从100Hz升到1000Hz，那我原来用1000个点进行DFT，现在用1000个点进行DFT得到的频率分辨率同样是1Hz，哪里发生了变化呢？
本文对上述两个问题的解答就是：
1. 增加时间分辨率（增加采样率）可以看到更高的频率分量，而不是把两个相近的频率点分隔开；
2. 频率分辨率是和时间长度关联的，对于采样频率和多少点的DFT只是计算时间长度而已，要分别0.5Hz 的信号，别管采样率多少，时间长度不到两秒都别想分辨出来。
1 时间分辨率

假设现在我们有一个时间范围在[0,1]秒的模拟信号 sig=cos⁡(2π*2*t) ，然后用采样率 fs=100 去进行采样，得到信号 Sig=cos⁡(2π*2*t1) ，如下图所示：



图1 信号sig和Sig图形

在上图中的采样数字信号中，两个点之间的间隔就叫做时间分辨率。例如上图的时间分辨率就是0.01秒。这也比较好理解，在原本的1秒内采样100个点，那么每个点的间隔就是 1/100 。第一个点对应着0.01秒，第二个点对应着0.02秒，直到100个点的1秒。当我们的采样率变成1000或者更高的时候，我们信号的时间分辨率就随之增加了，同理时间分辨率变小。
2 频率分辨率

我们在对离散时间傅里叶变换（DTFT）频域上的主值区间进行采样保留后得到离散傅里叶变换（DFT），现在对上述的离散信号 Sig=cos⁡(2π*2*t1) 进行100点离散傅里叶变换（DFT）后得到下图（已经对实信号频谱进行了搬移）：



图2 离散信号Sig的频谱图

这样在频率中进行采样后，引入频率分辨率。上述可知，对频率范围是 [-fs/2,fs/2) 的进行抽样，抽100个点，那么两个点之间的间隔就是 fs/100 。这里的 fs=100 ，所以这里的频率分辨率就是1Hz。
在上图中的实际信号正负频率之间间隔为4Hz（ Sig=cos⁡(2π*2*t1)  的频率为2和-2，间隔为4Hz），所以频率分辨率为1Hz可以将信号的两个频率分开。
现在我们对信号 Sig=cos⁡(2π*2*t1) 分别进行50点和10点离散傅里叶变换（DFT）后得到下图：



图3 信号Sig的50点的DFT频谱



图4 信号Sig的10点的DFT频谱

可以看出，在分辨率为 100/50=2 Hz的时候还可以分辨出两个间隔为4Hz的波峰，当分辨率来到 100/10=10 Hz的时候，已经分不清两个波峰了，这就是频率分辨率。
3 时间分辨率和频率分辨率的关系

首先给出时间分辨率的定义：对于一个采样率为 fs 的离散信号，其时间分辨率 Ts 为：
Ts=1/fs
频率分辨率的定义：频率分辨率还可以定义为信号频谱中频率分量间的增量。设系统实际采样率为 fs ，频域取样点数为N（进行DFT点数），则频率分辨率 df 的定义式可表示为:
df=fs/N=1/(N*Ts)=1/T
式中：
T ——表示信号有效时间，在进行DFT的时候有时候需要补零，但是补零操作并不会增加信号的有效时间，所以也不会增加频率分辨率。
时间分辨率 Ts 和频率分辨率 df 的关系由频域取样点数联系起来的。
现在我们对信号进行处理，每次进行100个点的DFT变换，如果采样率是100Hz的话，那么现在的时间分辨率是0.01秒，频率分辨率是1Hz；如果采样率是1000Hz的话，此时的时间分辨率变成0.001秒，频率分辨率是10Hz。同理，如果想要频率分辨率为1Hz 的话，采样率就要100Hz，时间分辨率为0.01秒；频率分辨率为10Hz的话，采样率就要1000Hz，时间分辨率为0.001秒。
可以这样理解，在频域上进行固定点数采样（固定点DFT变换），当时域采样率 fs越大，频域上的范围越大，固定点数之间的间隔越远，频率分辨率越低。
4 总结

文章简单首先简单介绍了时间分辨率和频域分辨率，说明时间分辨率和频率分辨率的所代表的意义，之后开始去理解时间分辨率和频率分辨率的关系：首先给出了时间分辨率和频率分辨率的定义，然后进行推导得到，在固定的频域采样点数下，提高时间分辨率就会降低频率分辨率，反之亦然。
5 参考文献

下面是在写这篇文章的时候所参照的文章：
1. 信号截短对频谱分辨率的影响 - 道客巴巴 (doc88.com)
2. 有研究FFT的么？分辨率小于1HZ是不是采样时间必须大于1s？ (amobbs.com 阿莫电子论坛 - 东莞阿莫电子网站)
3. 频率分辨率（数字信号处理术语）_百度百科 (baidu.com)

原文地址：https://zhuanlan.zhihu.com/p/659749617