时间序列预测从入门到精通（一）：基础知识

临床医师

最近在做时序预测方面的项目，从零开始一路摸索，也踩了不少坑，终于对这个领域有了一定的了解。在此做一个基本教程，重在概念理解与知识点疏通，帮助对该领域不熟悉的同学快速入门。
由于时序预测任务涉及的知识点较多，我准备用三篇文章分述，分别介绍基础知识、传统方法以及深度学习方法。本篇是该系列的第一篇文章，主要介绍基础知识，要点如下：

• 时间序列
  1.1 定义
  1.2 基本任务（预测、异常检测等）
  
• 平稳性
  2.1 概念
  2.2 检验方法（ACF、PACF、假设检验）
  2.3 平稳性转换方法
  2.4 白噪声
  
• 评价指标
  

<hr/>1. 时间序列

1.1 定义
时间序列（英语：time series）是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。
定义应该很好理解，日常生活中时间序列无处不在：CPU负载、上证指数、商场每天的人流量、商品每日价格。
1.2 基本任务
单指标时序预测任务：给定某一个指标的历史变化情况，预测其在未来一段时间内的变化。
多指标时序预测任务：给定某几个指标的历史变化情况，预测其在未来一段时间内的变化。该任务与单指标时序预测任务的区别在于，几个指标之间不一定相互独立，而是存在某种影响。
时序异常检测任务：从正常的时间序列中识别不正常的事件或行为的过程。可以从历史数据中检测，也可以基于时序预测对尚未发生的异常做出预警。
时序指标聚类：将变化趋势类似的时序指标归至同一类别。在实际运维工作中，面对的指标可能成百上千，分别对其进行分析，工作量太大，可以在聚类的基础上再做建模分析。
指标关联分析：即分析指标A是否会对指标B有影响，以及有什么样的影响（正向/负向、先后关系、多少时间步后造成影响等等）。
2. 平稳性

1.1 概念
平稳性是时序分析的重要概念，时序分析基本上是以平稳时间序列为基础的。
平稳性包括弱平稳与强平稳，其中强平稳的证明很困难。好消息是我们一般不需要关注强平稳，常见的时序分析任务都是基于弱平稳做的。
什么是弱平稳呢？简单来说需要满足以下三点：

• 均值（即从t=0到当前时间步的均值）为常数
  
• 方差收敛
  
• 协方差仅与时间间隔有关，与位置无关。
  

可能有人会好奇，协方差的计算需要两个向量，那么给定一条时间序列，为什么有协方差呢？其实时间序列中的协方差，通过一定间隔的两个时间步的值计算，记间隔为 lag=k，则协方差为 cov(x_t, x_{t-k}) 。
2.1 检验方法
常用平稳性检验方法有两种。一种是ACF、PACF图，另一种是假设检验。
2.1.1 ACF、PACF
ACF指自相关性系数，通常用 r_k 表示，用于测量时间序列滞后值之间的线性关系，公式如下（可见 r_0=1 ）：


PACF指偏自相关性系数，指剔除了中间k-1个随机变量的影响后， x_{t-k} 对 x_t 影响的相关度量。计算较为复杂，这里不介绍了（其实我也没仔细看）。
以时序预测任务中常见的航班数据集为例（AirPassengers.csv，下载点这里），绘图如下：


该数据集的自相关函数ACF与偏自相关函数PACF的示意图如下所示，其中横坐标表示间隔为 lag=k，纵坐标表示 r_k  ，：


至此关于ACF、PACF的概念介绍结束，那么它们如何作用于平稳性检验呢？对于一个平稳时间序列，自相关系数（ACF）会快速的下降到接近 0 的水平，然而非平稳时间序列的自相关系数会下降的比较缓慢；同样的，非平稳时间序列的自相关系数通常非常大并且为正值。据此，上图中的航班数据集是非平稳的。
我们再举个例子，下图来自于谷歌股价数据集。左图：非平稳；右图：平稳。


2.2.2 假设检验
常用的用于检测平稳性的假设检验是ADF（Augmented Dickey-Fuller Test）检验，p值小于0.05便可以认为平稳。航班数据集的检验结果如下：


2.3 平稳性转换方法
给定一个非平稳的时间序列，一般需要将它转换为平稳序列，再做建模。常用的平稳性转换方法如下：

• 变形（log函数等）
  
• 减去移动平均、指数平均等
  
• 差分
  

哲理要重点说一下差分。所谓差分，就是用 x_t-x_{t-1} 的值代替 x_t ，这是一阶差分。在一阶差分的基础上，继续做差分，就是二阶差分。对于大部分时序数据来说，二阶差分后，都可以得到平稳序列，很少用到更高阶的差分。
值得一提的是，对于很多时序预测模型尤其是深度学习模型来说，我们会发现，代码中可能并没有平稳性转换这一步。这是因为这些模型中往往有自动特征提取的步骤，从而隐性地完成平稳性转换。
2.4 白噪声
关于白噪声，网上的描述有很多用词不精准或者相互矛盾之处。我梳理了不少资料，在此将白噪声相关的知识点枚举如下：

• “白噪声”是一个对所有时间其自相关系数为零的随机过程，如果时序数据是白噪声的话，是没有预测意义的。其ACF图如下（注意 lag=0 时， r_k=r_0=1 。如果不理解，可回顾2.1.1小节）：
  

• 白噪声和残差完全是两个概念，不要混淆。“残差”在数理统计中是指实际观察值与估计值（拟合值）之间的差。
  
• 时间序列分解时，残差应该为白噪声才合理。如果不是白噪声，可以考虑对残差继续进行时序建模。时间序列分解会在本系列的下一篇文章中介绍。
  
• 白噪声是平稳的，但是随机游走（或纯随机序列）并非平稳。“随机游走”指基于过去的表现，无法预测将来的发展步骤和方向。
  
• 平稳的序列并不一定是白噪声。
  
• Box-Pierce检验（升级版：Ljung-Box检验）用于判断时间序列是否为白噪声。
  

3. 评价指标

• RMSE：均方根误差，最常见的一种。
  
• MAE：平均绝对误差。
  
• MAPE：平均绝对百分比误差。
  
• MASE：平均绝对比例误差，这个用得不多。
  
• R-square：小于0很差，等于0相当于将结果预测为均值，等于1则完全预测正确。这个也比较常见。
  
• Adjusted R-square：消除了R-square中样本数量的影响。
  

关于以上度量指标，具体公式可以百度，都很简单，这里不再赘述。
<hr/>徐不知：时间序列预测从入门到精通（一）：基础知识
徐不知：时间序列预测从入门到精通（二）：传统方法
徐不知：时间序列预测从入门到精通（三）：深度学习方法

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