信号的时间域分辨率和频率域分辨率

莺歌燕舞

对于一个带宽有限的信号而言，在时间域和频率域都存在分辨率。其中，提高时间域采样率可以提高时间域（或者模拟）分辨率，提高频率域采样率可以提高频率域（或数字）分辨率。本文以图文的形式介绍这两者提高的过程和关系。
1.        时间域分辨率
提高时间域分辨率主要通过提高对信号在时间域采样率来实现。如下图所示：


最上面一幅图是频率为100Hz的单频音，时间连续的模拟信号。下面两幅图分别是采样率为3ksps和5ksps时间离散信号，这些时间离散信号是对第一幅图模拟信号的采样。
可以明显看出，最下面一幅图中信号密集程度明显比中间一幅图要密集的多，这说明在时间域，提高采样率可以提高时间分辨率，获取信号更密集的信息。
2.        频率域分辨率
提高频率域分辨率主要通过提高频率域采样率，更改窗类型和降低时间域采样率来实现，下文分别介绍这几种方法。这些方法都基于一个假设：信号是带宽有限信号,时间域采样满足奈奎斯特采样定理。
a)        提高频率域采样率
提高频率域采样率有两种方法：
1)        增加时间域窗长
增加时间域窗长效果如下图所示：


最上面一幅图是函数为y0=0.5*sin(2*pi*f1/fs*n)+0.5*sin(2*pi*f2/fs*n)，即2个频率分别为100Hz和150Hz单频音叠加的函数。理论上，FFT分析可以分辨出这两个频率，第二幅图是对这个信号频率能量谱的分析，其中窗长为50，可以看出，在频率80到180Hz形成了一个高大峰，未能区分出来这两个单频音峰；第三幅图为窗长提高到100点以后的信号频率能量谱，从该图可以看出，两个峰被分开了。
2)        直接增加频率域采样率
在实际应用中，可能无法提高时间域窗长，特别是对于持续时间比较短的信号。这种情况也可以直接增加频率域采样率。效果如下：


最上面一幅图是函数为y0=0.5*sin(2*pi*f1/fs*n)+0.5*sin(2*pi*f2/fs*n)，即2个频率分别为100Hz和150Hz单频音叠加的函数。理论上，FFT分析可以分辨出这两个频率，第二幅图是对这个信号频率能量谱的分析，其中频率域采样点数为50点，可以看出，在频率80到180Hz形成了一个高大峰，未能区分出来这两个单频音峰；第三幅图为时间域采样点数不增加（时间域采样信号后补0以占位，实际上补1也可以，这不会对交流成分产生影响，但会对计算量产生影响），仅频率域采样点数提高到128点以后的信号频率能量谱，从该图可以看出，两个峰被分开了。
两种方法都提高了频率域分辨率，这两种方法提高频率域分辨率的理论基础如下：离散傅里叶变换DFT实际上是对序列傅里叶变换在单周期的等间隔取样，在时间域采样满足奈奎斯特采样定理时，理论上频谱是没有混叠的，只要对序列傅里叶变换进行适当的采样就可以分辨出感兴趣的功率峰。由于序列的傅里叶变换是个连续周期谱，对该谱主值区间采样率越高就能得到越精细的分辨率。如下图所示：


最上面一幅图是函数为y0=0.5*sin(2*pi*f1/fs*n)+0.5*sin(2*pi*f2/fs*n)，即2个频率分别为100Hz和150Hz单频音叠加的函数。第二幅图是序列傅里叶变换的主值区间，它是个连续谱，DTF是对该谱等间隔取样谱，其中图三按照50点对其进行取样，因为取样点过于“稀松”，故没有取到功率峰值点，也没有取到两个功率峰中间的谷值点，因此看起来这两个功率峰“叠”在一起；第四幅图按照128点取值，频率域采样率提高了约2倍，可以取到两个功率峰中的谷值（有偏差）点，每个功率峰也由原来的一个点增加到两个点，因此看起来两个功率峰被分开了。
那么，通过方法2（直接增加频率域采样率）和通过方法1（增加时间域窗长）看起来是等效的，因为他们实际上都增加了频率域采样率，他们区别又在哪里呢？结果见下图：


最上面一幅图是函数为y0=0.5*sin(2*pi*f1/fs*n)+0.5*sin(2*pi*f2/fs*n)，即2个频率分别为100Hz和150Hz单频音叠加的函数。第二幅图是在时间域采样点数不变的情况下，增加频率域采样点数的频谱图；图三是增加时间域窗长的频谱图。可见，图三的频谱更加“细腻”，在上图中未发现旁瓣和波纹，分辨效果较好。此外，图三的峰值幅度高于图二的峰值幅度。
这些现象的理论基础如下：时间域窗长不变时，序列傅里叶变换的频谱不变，由于矩形窗的存在的频率泄露效应，存在较大的旁瓣和主峰外波纹。图三实际上是提高了矩形窗窗长，因而减小了过渡带，降低了旁瓣和主峰外波纹（比例实际上未发生变化）。而对于峰值的影响，根据离散帕斯瓦尔定理，变换不会影响两个域的总能量，图二在时间域后补0，图三加大时间域窗长捕获的是实际信号，其能量要大于补0所获取的交流能量，因而其功率谱峰值比图二要高。
b)        更改窗类型
频谱泄露效应会引起相邻两个频谱峰相互混叠，特别是在时间域采样率过高的情况下。通过对时间域信号加不同类型窗可以减小这种混叠，如下图所示：


最上面一幅图是函数为y0=0.5*sin(2*pi*f1/fs*n)+0.5*sin(2*pi*f2/fs*n)，即2个频率分别为100Hz和110Hz单频音叠加的函数。第二幅图是在时间域加矩形窗后获取的谱图，从谱图上可以看出100Hz和110Hz两个峰之间存在混叠，峰谷未到达零点。第三幅图和第四幅图分别在时间域加汉宁窗和黑人窗后获取的谱图，从谱图中可以看出，两个峰之间存在明显峰谷。
理论上来讲，频率域分辨率和时间域加窗类型关系并不是很密切，但是在变换时，由于时间域窗在频率域对应的Sa函数并非是一个完美的矩形窗，而是发生了畸变的矩形窗。这种畸变带来的效应就是频谱泄露等，为了减小这种泄露，在时间域对信号进行预畸变，使频域畸变减小或在频率域得到尽量接近完美矩形窗效果窗函数，从而减小频谱泄露，最终提高频率域分辨率。但同时，时域预畸变会对原始信号带来一定影响，有可能会损失一部分信息。如下图所示：


最上面一幅图是原始信号，第三幅图是加汉宁窗后信号。观察发现，加窗后部分信号幅度变小或消失。图二和图四分别是原始信号谱图和加窗后谱图，观察发现，加窗后频率泄露现象减轻或消失。这是加窗减轻频谱泄露而带来的副作用。
c)        降低时间域采样率
另外一种提高频率域分辨率的方法就是降低时间域采样率，效果如下图所示：


最上面一幅图是函数为y0=0.5*sin(2*pi*f1/fs*n)+0.5*sin(2*pi*f2/fs*n)，即2个频率分别为100Hz和150Hz单频音叠加的函数。第二幅图是时间域采样率为2.5ksps时谱图，第三幅图是时间域采样率为0.5ksps时谱图。观察发现，降低时间域采样率后，可以明显看到100Hz功率谱峰和150Hz功率谱峰。
降低时间域采样率提高频率域分辨率的理论基础如下：离散傅里叶变换DFT实际上是对序列傅里叶变换在主值区间的等间隔取样。 序列傅里叶变换主值区间的频率轴（x轴）最高点对应于采样频率Fs，当时间域采样总点数不变，频率域采样点数亦不变且等于时间域采样点数情况下，Fs约小，等间隔取样后每一个间隔也越小，频率域分辨率就等于该间隔，因而也越小。
本文介绍了信号的时间域分辨率和频率域分辨率关系及如何提高这些分辨率。提高时间域采样率可以提高时间域分辨率，但会降低频率域分辨率，这看起来很矛盾，但确实是这样。而如果既要提高时间域分辨率又要提高频率域分辨率则需要通过加大窗长来平衡这种需求，而加大窗长又会引起时间域采样时间的延长和更多的计算量。这也是为什么在使用频谱仪时，设置过小的频率分辨率和较高的采样率时，需要更多的获取时间才能刷新一帧图像。
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