浅谈IVD统计系列--t检验及其应用

t分布最早是由英国统计学家Gosset W S在1908年以笔名“student”发表论文，证明服从自由度ν=n-1的t分布，故t分布也称为Student t分布（Student’s t-distribution）,t分布主要用于总体均数的区间估计和t检验等。

中是样本的均数。是总体的均数，是均数的标准误。关于总体参数和样本参数的区别我已经在第一篇中详细阐述了，这里不再赘述。怎么来理解呢？比如我们抽了100个样本，每个样本的样本含量为20。因此我们可以得到100个样本均数和标准差。我们可以将这100个样本均数当做新的变量值，再求均数，就得到。样本均数的标准差也称为均数的标准误，表示为，通常用标准误来反应抽样误差。其中，我们可以看到，当样本含量n越大，均数标准误越小，抽样误差越小，表示用样本均数来估计总体均数时的可靠性越大。

在本系列第二篇中（浅谈IVD统计系列--资料类型及正态分布），我介绍了标准正态分布（Z分布），Z分布是正态分布通过标准正态分布转化而来。其实t分布在Z分布的基础上，再一次进行了转换。可以将t分布简单理解为，以样本均数替代了Z分布中的X，以标准误替代了σ。即t=。其分布曲线如下图所示。可以看到t分布只有一个参数，即自由度，并且t分布不是一条曲线，而是一簇曲线，当自由度不同时，曲线的形状不同。当自由度为∞时，t分布就是标准正态分布（Z分布），标准正态分布是t分布的特例。

根据总体标准差σ是否已知和样本含量n的大小，总体均数可信区间的估计方法通常有t分布和z分布两种。

统计应用的本质是统计量的换算，我们最常用的就是将t值或者其他统计量换算成P值，做显著性检验，或者将P值换算成t值或者其他统计量，来计算均数的置信区间。为了方便应用，统计学家编制了不同自由度下t值与相应概率关系的t界值表。因此，当我们知道了样本量，置信水平，就知道了对应的t值。t界值表中，横标目为自由度ν，纵标目为尾部概率P或α。一侧尾部面积称为单尾概率，其对应的t界值用表示；双侧尾部面积之和称为双尾概率，其对应的t界值用表示。由于t分布以0为中心左右对称，故t界值表中只列出了正值，若计算的t值为负值则用其绝对值查表。

同一自由度的双侧概率P为单侧概率P的两倍。那么在什么情况下选择用双侧，什么情况下选择用单侧呢？选择单、双侧界值应依据专业知识确定。例如，体质指数（BMI）无论过高或过低均属异常，参考值范围应是双侧；而有些指标只有在过大或者过小时为异常，如肺活量过低为异常，因此只需确定下限，因此参考值范围应是单侧。

对于t分布，t=，通过这个公式的换算，知道样本均值，标准差，样本含量就可以算出总体均数的可信区间。

1） σ未知：按t分布。P=1-α，因此总体均数的双侧（1-α）可信区间为

2） σ已知或者σ未知但n足够大（n>50）,按z分布计算置信区间。上面我们已经提到过，当自由度趋近于无穷时，t分布就是标准正态分布，一般认为t分布在样本量较小时更具有统计优势，t分布的发现使得小样本统计推断成为可能。Z分布在样本量较大时具有优势，但是这个界限没有一个统一的说法，有的认为以n=60为界，有的认为以n=40为界，还有的以n=100为界的。

按Z分布进行计算时，总体均数的双侧（1-α）可信区间可以简写为或者。

关于假设检验的目的，我在浅谈统计系列之基本概念中已经详细阐述过，一句话总结，就是比较两个样本之间有无显著性差异。那t检验的实质就是将样本统计量换算成t值，再将t值换算成最直观明了的P值，从而判断两个样本之间有无显著性差异。

1）假设检验的基本步骤

A. 建立检验假设，确定检验水准。假设有两种：一种是原假设、无效假设或者零假设，记为H0，假设样本所代表的总体参数（如未知总体均数）与已知总体参数（如总体均数）相等，H0：=；另一种是备择假设，也称对立假设，记为H1,是与H0相联系、对立的假设，H1：

检验水准也称为显著性水准，是预先规定的判断小概率事件的概率尺度，记为α。在实际工作中，α通常取0.05或0.01，即若某个事件发生的概率小于0.05或0.01，认为其是小概率事件。

B. 计算检验统计量

根据研究目的、设计方案、变量或资料类型及其分布特征、假设检验方法适用条件等选择检验统计量。比如通常我们用的比较多的有t检验，F检验，卡方检验等，那么计算的检验统计量分别为t值，F值，值。

C. 确定P值，作出推断结论

求出检验统计量后，查附表中相应的统计界值表即可得出概率P值，从而作出统计推断。若P>α，按α检验水准不拒绝H0,认为差异无统计学意义，即无显著性差异；若P≤α，拒绝H0，接受H1，两个样本间有显著性差异。

2）t检验的应用条件和类型

首先，需要明确的是t检验所适用的资料类型是计量资料。其次，应用t检验时，各样本均来自于其总体的随机样本；再者，各样本均来自于正态分布总体，如果不确定，需要做正态性检验；最后两独立样本均数比较时，要求两总体方差相等。

A. 单样本定量资料的t检验

指的是样本均数与总体均数比较的t检验，又称单样本资料的t检验，实际上是推断该样本来自的总体均数与已知的某一总体均数有无差别。

具体应用也是根据根据假设检验的三大步骤进行。

第一步：建立检验假设，确定检验水准。

第二步：计算检验统计量。t=。将样本均数，和总体均数，标准误代入上式，算出检验统计量t值。

第三步：根据自由度，检验水准α（0.01或0.05）来查t界值，用算出的t值和t界值进行比较，若t值大于t界值，则P小于检验水准，拒绝原假设，两样本差异显著。反之，无显著性差异。

B. 配对设计定量资料的t检验

所谓的“配对”实际上就是“一对一”。通常有两种类型，“异体配对”和“自身配对”。“异体配对”是指将某些重要特征相似的每两个受试对象配成一对，将每对受试对象进行随机分配后，分别给予两种不同的处理。“自身配对”是指同一受试对象分别接受两种处理。比如为了测试某减肥药的效果，让15位身体偏胖的人服用该药，通过测量服药前和服药后的体重，检验该药有无效果。

同样的，按照假设检验的三大步骤进行。不过，配对检验的检验假设与上述有所不同。配对设计资料的分析着眼于每一对中两个观察值之差，这些差值构成一组资料，用t检验推断差值的总体均数是否为“0”，检验假设为H0：

除了上述两种t检验外，还有两独立样本均数比较的t检验。这部分比较复杂，会在下一篇中连同SPSS软件实现详细说明。

其实统计学习并非理解上的难度，个人认为统计是需要系统的去学习的，每种资料类型，在不同实验条件下所用到的统计学方法也会不同，现在有非常多的统计软件供我们选择，但是统计软件不会告诉你用那种统计方法进行分析，还是需要自己了解数据特征后，并且熟练正确的掌握每种统计方法的应用条件，才能准确有效的分析自己的数据，本系列文章肯定不会面面俱到，只希望能为大家提供学习的思路。